简谈弧度让学生对“弧度”不糊涂

论文导读：
【摘要】对弧度的角的定义采用实验操作的动态生成教学法，并设置梯度式的重难点处理的思路和方法，使得教学过程显得直观生动，环节合理紧凑，内容由浅入深，在一种轻松愉悦的氛围中，使学生学得轻松、教师教得轻松，既可收到良好的教学效果，还有利于促进师生的互动交流，培养学生善于观察、辩证思考的良好思维品质.
【关键词】数学；弧度制；教学方法；教学效果
弧度制是高中或高职高专五年一贯制数学教学内容中的一个重点，同时也是一个难点.因为以弧度作为角的度量单位，对三角函数的研究极为方便，以此作为基础，才使得三角函数的定义域都是实数集的子集，才会有我们所熟知的优美的三角函数图像和三角函数的那么多神奇的性质.
但是很多同学对1弧度的角这个概念理解有困难，原因是本身这个概念比较抽象，其次是老师通常只是与1度的角作为比较来进行教学，比较的结果是学生知道弧度是另外一种度量角的单位，知道度量角的单位有两种，也能通过熟读熟记区分开度和弧度.老师也可以采用多媒体通过动画演示来进行教学，但动画演示也不能做到实验操作所能达到的直观效果，致使学生和老师始终认为弧度制不好理解、不好讲，师生双方面对弧度制的教学都存在畏难情绪.针对这种情况，本人通过几次的教学实践并不断尝试改进后，对1弧度的角的定义采用实验操作的动态生成教学法，设置合理紧凑的教学环节，并设置梯度式的重难点处理的思路和方法，内容由浅入深，在一种轻松愉悦的氛围中，师生共同参与完成教学任务.

1.复习角度制，做好铺垫

为了帮助学生理解弧度制，要将弧度制和角度制加以比较，所以要有针对性地复习1度的角和周角的定义、圆心角度数的计算公式、圆的周长公式、弧长公式、扇形面积公式、周角和1度的角的定义等这些角度制相关知识点，为帮助学生理解弧度制做好铺垫.

2.通过实验操作法对1弧度的角这个概念进行动态生成的直观教学

（1）任意画一个圆（强调这个圆的半径任意），并任意画出一条半径（如图1-1）.
（2）在有弹性的细木棒（或竹签）上截取和半径等长的一段.
（设疑：截取的小木棒的长代表什么量？学生不难得出小木棒的长代表圆半径.）
（3）用截取的小木棒（或竹签）在圆周上截取一段等长的弧（图1-2）.
（设疑：这条弧有什么特点？弧长是多少？回顾截弧的过程，学生会得出弧长等于半径.）
（4）画出截取的弧所对的圆心角（图1-3）.
图1-1图1-2图1-3图1-4
（5）试描述该圆心角∠AOB的特点.
引导学生回顾以上操作过程，学生不难得出这个圆心角就是弧长等于半径的弧所对的圆心角，这时候就可以水到渠成地明确给出1弧度的角的定义.
（6）猜想1弧度的角有多大.
画出1弧度的圆心角所对的弦（图1-4），并根据同一个圆心角所对的弦长小于弧长，启发学生发现1弧度的圆心角所对的弦长小于半径，在圆中弦长等于半径的弧所对的圆心角等于60°，大弧对大角，可以得出1弧度的角小于60°.
（7）探讨1弧度的角的大小与圆半径的大小有没有关系.
图2任意画一个同心圆，再重复以上操作（要求把角的起始边与第一个圆里边的角的起始边重合），会发现两个同心圆里边画出的角的终边也会重合（图2），这就初步验证了1弧度的角的大小与圆半径的大小没有关系，在此基础上明确由于圆弧长短与圆半径之比不因为圆的大小而改变，所以弧度数也是一个与圆的半径无关的量.
通过这样动态生成的教学，学生轻轻松松就理解了1弧度的角的定义.
（8）把1度的角的概念深化，通过比较加深对1弧度的角这个概念的理解.
可以把1度的角的概念深化，周角的1/360定义为1度的角，周角的1/360，也可看成是把圆周等分成360份，每一份圆弧的长度是圆周长的1/360，这样就是弧长等于圆周长的1/360的圆弧所对的圆心角就是1度的角.这样两个概念就比较接近，比较的意义也才会更明显，更有利于促进学生理解掌握，在深化和提高了学生对角度制的理解程度的基础上，不但有利于学生对弧度制进行同化理解和掌握，更优化了学生的认知结构.
图3

3.巧设系列问题，启发引导学生逐步推证公式

（1）如果已知弧长和圆半径，如何计算圆心角的弧度数？
通过在圆周上多次截弧，作出2弧度的角、3弧度的角，启发
引导学生由1弧度的角的定义可以初步得出圆心角的弧论文导读：
度数的计算
办法为弧长除以半径：=lr.
（2）弧长和半径都是正值，而圆心角和弧却有正有负，自然圆心角的弧度数也有正有负，如何正确地表示弧度数的计算公摘自：学年论文范文www.7ctime.com
式？
弧长和半径都是正值，自然它们的比值也是正值，这样可以先计算出圆心角的弧度数的绝对值，然后再根据弧和角的正负加上相应的符号，就可以得出圆心角的弧度数，所以圆心角的弧度数的计算公式为：||=lr.
（3）整个圆周所对的圆心角的弧度数是多少？
整个圆周的弧长就是圆周长2πr，可以算出整个圆周所对的圆心角的弧度数为：=2πrr=2π.
（4）整个圆周所对的圆心角的度数是多少？由此可以得出什么结论？
整个圆周所对圆心角就是周角，即为360°，由此可以得出：2π=360°，进而得出π=180°.
（5）角度和弧度之间如何相互转化？试写出最简表达式.
π=180°1弧度=180°π≈180°3.14≈57.3°=57°18′180°=π弧度1°=π180弧度≈3.14180弧度≈0.01745弧度.在学生完成以上推理演算后，明确角度和弧度之间的相互转化公式为：度×π180×180π弧度，或 度×0.01745×57.3弧度.
虽然这个公式很重要，需要记忆，但只要记住π=180°这个关系式，学生就可以自己推导出来，所以各个公式的生成过程的教学是很重要的，注重生成过程的教学，才能从根本上促进学生学习能力的提高.
（6）如何由弧所对圆心角的弧度数、圆半径正确地计算弧长？
启发引导学生发现半径、弧长、圆心角的弧度数这三个量之间的关系，由圆心角的弧度数的计算公式变形得到弧度制下的弧长公式为：l=r，借此启发指导学生对所学知识要灵活应用，尤其是要重视对公式的变形应用.

4.例练结合深化理解，培养应用能力和技巧

（1）通过讲解板演典型例题示范对公式的灵活应用
例题分析讲解是数学课教学中必不可少的环节，通过讲解板演典型例题示范对公式的灵活应用，并在例题学习过程中由圆面积公式、弧度数的计算公式、弧度制下的弧长公式推证出弧度制下的扇形面积公式，采取这种梯度式逐步推进的策略可分化教学难点.
（2）匹配练习培养应用能力
设置合理紧凑的教学环节，每个例题的讲解结合相应的匹配练习，让学生亲自动手对公式加以运用，老师适时地给予学困生解题方法和技巧的指导点拨，促进课堂教学效率的提高.

5.通过小结将弧度制与角度制全面比较加深对弧度制的进一步理解

通过小结将弧度制与角度制如下表中进行全面比较，不但有利于学生对弧度制进行理解、掌握和同化，更优化了学生的认知结构.
数学中概念的建立、结论、公式、定理的总结过程，蕴藏着深刻的数学思维过程.像这样进行这些知识生成过程的教学，不仅有利于培养学生的学习兴趣，对提高学生的学习能力也有着十分重要的作用.因此我们应当改变那种害怕浪费课堂时间，片面追求提高学生方法应用能力的做法，应当结合教学内容，探索设计出利于学生参与认知的教学环节，把概念的形成过程、方法的探索过程、结论的推导过程、公式定理的归纳过程等充分暴露在学生面前，让学生的学习过程成为自己探索和发现的过程，真正成为认知的主体，增强求知欲，从而提高学习能力.