简述归纳法归纳法在高中数学解题中实用技艺经典

论文导读：不等式，有时用不等式证明反而可以起到意想不到的效果。例如：证明：+++...+1n2>1（nN+，且n>1）.证明：（1）当n=2是，12+13+14=1312>1.故不等式成立。（2）假设n=k时，1k+1k+1+1k+2+...+1k2>1恒成立。三、数学归纳法对代数恒等式的证明学生用数学归纳法证明代数恒等式时，需要分清等式两边的构成情况，
摘要：数学归纳法是高中数学中一种比较重要的证明方法。学生掌握了数学归纳法，就可以独立对自己在数学中的疑问进行求证。本文结合具体的实例，谈谈数学归纳法在解题时的应用技巧。
关键词：数学归纳法；解题技巧；习题
数学归纳法主要用来研究与正整数有关的数学问题。在高中数学中，它经常被用来证明和数列有关的问题以及证明等式的成立。

一、数学归纳法对数列命题的证明

数列的证明需要从个体推及到整体，从特殊推及到一般。因此在数列证明中应用数学归纳法最为合适。例如：
Sn=na1+ n（n-1）d（a1为首项，d为公差）
证明：（1）当n=1时，S1=a1，公式成立。
（2）假设n=k时，公式成立，即
Sk=ka1+ k（k-1）d，则Sk+1=Sk+ak+1
=[ka1+ k（k-1）]+{a+[（k+1）-1]d}
=（k+1）a1+ （k+1）[（k+1）-1]d
当n=k+1时成立，由此可知，对于n N公式成立。

二、数学归纳法对不等式的证明

不等式的证明可以用不等式的定理来解决，但是对于稍微复杂的不等式，有时用不等式证明反而可以起到意想不到的效果。例如：
证明： + + +...+1n2 >1（n N+，且n>1）.
证明： （1）当n=2是，12 +13 +14 =1312 >

1.故不等式成立。

（2）假设n=k时，1k +1k+1 +1k+2 +...+1k2 >1恒成立。

三、数学归纳法对代数恒等式的证明

学生用数学归纳法证明代数恒等式时，需要分清等式两边的构成情况，这是证明的关键所在。例如：
用数学归纳法证明：
1×2×3+2×3×4+...+n（n+1）（n+2）=14 n（n+1）（n+2）（n+3）
证明： （1）当n=1时，
左边=1×2×3=6，右边=14 ×1×2×3×4=6，
左边=右边，等式成立
（2）假设n=k（k≧1）时，等式成立，即
1×2×3+2×3×4+...+k（k+1）（k+2）=14 k（k+1）（k+2）（k+3）
则当n=k+1时，
1×2×3+2×3×4+...+k（k+1）（k+2）+（k+1）（k+2）（k+3）
当n=k+1时，等式也成立。
由（1）、（2）可知，对于任意的n N+，等式都成立。

1.数学归纳法对整摘自：毕业论文翻译www.7ctime.com

除问题的证明
整除问题在高中数学中也是学生经常遇到的问题，常常让学生不知如何下手，打开解题的思路，而学生运用数学归纳法就可以很好地解决这一难题。例如：
用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n N+
证明：（1）当n=1时，42×1+1+31+2=91，能被13整除。
（2）假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时
42（k+1）+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3
=42k+1·13+3·（42k+1+3k+2）
42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除
当n=k+1时也成立。
由（1） （2）可知，当n N+时，42n+1+3n+2能被13整除。

2.数学归纳法对几何问题的证明

对于与自然数有关的几何问题，学生也可以另辟蹊径，运用数学归纳法巧妙的证明。例如：
平面内有n（n N+）个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成n2-n+2个部分。
证明：（1）当n=1时，一个圆把平面分成两部分，此时n2-n+2=2，即命题成立。（2）假设当n=k时命题成立，即k个圆把平面分成k2-k+2个部分。
则当n=k+1时，这k+1个圆中的k个圆把平面分成k2-k+2个部分。第k+1个圆被前k个圆分成2k条弧，这2k条弧中的每一条把所在的部分分成了两个部分，这时共增加了2k个部分，故k+1个圆把平面分成k2-k+2+2k=（k+1）2-（k+1）+2个部分，这就说明当n=k+1时命题也成立。
综上所述，对一切n N+，命题都成立。
从以上这些例题的解题过程可以看出，如果学生可以熟练的运用数学归纳法的解题技巧，不仅可以很好地掌握数学内容，而且可以拓宽自己的数学思路，论文导读：将知识紧紧地联系起来。参考文献：宋家彬.浅谈数学归纳法在解题中的运用.成功（教育）.2009（04）张顺鹏.浅谈数学归纳法的应用技巧.科技信息（科学教研）.2008（11）杨述文.谈谈数学解题的教与学问题.数学通报.1995（09）上一页12
将知识紧紧地联系起来。
参考文献：
宋家彬. 浅谈数学归纳法在解题中的运用[J]. 成功（教育）. 2009（04）
张顺鹏. 浅谈数学归纳法的应用技巧[J]. 科技信息（科学教研）. 2008（11）
[3] 杨述文. 谈谈数学解题的教与学问题[J]. 数学通报. 1995（09）