试谈线段对解决比例线段理由一点看法学报

论文导读：#GetFullDomain}行线（不能做线段AB的平行线）即可。证明：作DG∥AC交BC于G∵DG∥AC∴△DGE∽△FCE∴DE：EF=DG：CF又DG∥AC∴∠1=∠2∵AB=AC∴∠B=∠1∴∠2=∠B∴BD=DG∴DE：EF=BD：CF■例3.如图，△ABC中，D点为AC上的一点，E为线段CB延长线上的一点，BE=AD，ED交AB于F点。求证：E
对于初中阶段几何里中的证比例线段问题，学生觉得无从下手非常难证。笔者认为比例线段问题有规律可循，下面介绍一些解决这类问题的小窍门。

一、熟知定理

1.相似三角形的判定及性质定理。

2.平行线的判定及性质定理。

二、分类
要想解决比例线段问题必须先弄清线段成比例的种类，我认为可以分为以下几种：

1.纯粹平行线分线段成比例线段问题。

2.纯粹三角形对应边成比例问题。

3.找中间比的比例的线段问题。

三、解决办法

1.第一类。DE∥BC交△ABC的两边AB、AC于D、E两点。求证：AD：DB=AE：EC。
2.第二类。已知DE交△ABC的两边AB、AC于D、E两点，且AD：DB=AE：EC。求证：（1）DE：BC=AD：AB；（2）S△ADE：S△ABC=DE：BC。
以上这两类都容易解答，学生只要直接按书中的定理、定义等方法直接解决即可。

3.第三类。找中间比解决线段成比例问题可以再细分为以下几类。

对于一条直线上的线段成比例问题，我们可以先找重要分点，再过分点作辅助线（平行线）来解决。由于平行线与三角形的边相交的交点都可把三角形的边分成两条线段，因此，我们可以把这个交点称作“分点”。我们可以把已知条件里的中点、等分点等条件看做是线段的分点，分点是比例线段问题里的重要元素。做题时，我们先找出由已知条件得到的线段是由哪些点分出来的，有几个点就圈几个点，再找要解决的问题中的线段又是由哪几点分出来的，依旧圈出这几个点。每用一个点、每一个点用一次都要圈一次。之后，我们再去掉无用的点选出有用的点。一般情况下，图形的顶点要去掉，被圈次数少的点去掉，剩下圈的次数较多的点为重要的分点。当这样的点有几个时，我们取分出特殊线段的点，通过这样的点来做辅助线（平行线），辅助线一般在图形内部。这个点如果是由已知条件找出的则通过这点做要解决的问题里的线段的平行线；这个点如果是由所求的问题里的线段找出的，则通过它做已知条件中线段的平行线。整个过程就是用所做的平行线把已知和问题联系起来，利用定理等解出。
例1.如图，已知，△ABC中AB=AC，D是BC边上的中点，过D点做直线与AC、BA的延长线分别交于E、F两点，求证：AE：CE=AF：BF。
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分析：D点是中点，分出BD、CD两条线段，则B、D、C三点应圈上；AE、CE两条线段是A、E、C三点分出的，这三点也应圈上；AF、BF两条线段是B、A、F三点分出的，这三点也圈上。我们已找出全部分点，下面先去掉图形的顶点F、E、D，再去掉B、C两点，这就只剩下A点，而A点是由所求的问题里的线段找出的点，因此，我们过A点作已知条件中所涉及的线段BC的平行线，这样就把AE：CE和AF：BF都联系起来了。
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证明：作AG∥BC交EF于G
∵AG∥BC
∴△AGF∽△BDF △AGE∽△CDE
∴AF：BF=AG：BD AG：CD=AE：EC
又D点为BC线段的中点
∴BD=CD
∴AG：BD=AE：CD
∴AF：BF=AE：EC
例2.如图：△ABC中AB=AC，直线DE分别交AB、BC、AC的延长线于D、E、F。求证：DE：EF=BD：CF。
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分析：AB、AC不是一条直线上的点，A、B、C三点不圈；线段DE、EF是由点D、E、F分出的，这三点应圈上；BD、CF是由点D和C点F分出的，圈上这两点，这样分点全部被找出。先去掉B、F两点，再去掉E、C两点，这样就剩下D点了，此时D点是由所求的问题里的线段找到的，则向已知条件AC线段做平源于：大学毕业论文范文www.7ctime.com
行线（不能做线段AB的平行线）即可。
证明：作DG∥AC交BC于G
∵DG∥AC
∴△DGE∽△FCE
∴DE：EF=DG：CF
又DG∥AC
∴∠1=∠2
∵AB=AC
∴∠B=∠1
∴∠2=∠B
∴BD=DG
∴DE：EF=BD：CF
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例3.如图，△ABC中，D点为AC上的一点，E为线段CB延长线上的一点，BE=AD，ED交AB于F点。求证：EF：FD=AC：BC
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分析：条件BE=AD中，线段BE、AB不在同一直线上不是分点问题，EF：FD中的线段EF、FD是由D、E、F三点分出的。AC：BC中的线段AC、BC也不是分点问题，也不能圈出分点。所以只论文导读：
有D、E、F三点是分点，由于E点是图形的顶点，则去掉。这样只剩下D、F两点，我们从中任选一点，由于D、E两点都是由问题里的线段找到的，那么由D（F）点向线段AD（或BE）所在的线段作平行线交于条件的线段所在直线即可。
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证明：作DM∥EC交AB于M
∵DM∥EC
∴△ADM∽△ACB △DMF∽△EBF
∴AD：MD=AC：BC EF：DE=BE：MD
又AD=BE
∴BE：MD=AC：BC
∴EF：DF=AC：BC
即：EF：FD=AC：BC
练习：
1.在△ABC的边AC上，于CB的延长线上取BB′=AA′；则AB截A′B′所成两部分的比等于BC：CA。
2.△ABC的AB边小于AC边，延长AB至D，使BD=AB，在AC上取E点，使CE=BD，连接DE与BC交于F点，求证：AB：AC=EF：FD。
3.已知△ABC的∠A平分线交底边于D，交外接圆于P，求证：AD×AD=AB×AC—BD×CD。
（责编 高伟）