阐释陕西2012年陕西中考压轴题与教材联系
最后更新时间：2024-04-18
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论文导读：的取值范围，运用第二问中的结论和三角形的相似来解决，特别是求m的最小值时，在第（1）问图形的基础上再作图，运用比例解决问题，这和前面提到的北师大版的九下课本中《最大面积是多少》一课引例的第二问类似，把面积问题转化成了关于边长的二次函数，求二次函数的最值来得到面积的最值，但是这道题难度增加了，特别是自变量的取值范围
中考压轴题是尖子生能否拿到高分甚至满分的决定性因素，也是教师们重点讲述的内容，所考查的知识点及基本思路与教材的联系至关重要.
2012年陕西省的压轴题涉及了正三角形的内接正方形的题目，第一问使用位似变换画出正三角形的内接正方形，第二问求第一问所画正三角形的内接正方形的边长，第三问求两个正方形的面积和的最值，在难度提高的同时计算量也增大了很多.
题目：正三角形ABC的边长为3+.
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上.在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图④，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由.
考查知识点：本题主要考查位似变换，等边三角形的性质，勾股定理，特殊的三角形，三角函数，正方形的性质，以及二次函数的应用.
分析：（1）要求利用位似图形的性质，做出正方形的EFPN的位似正方形E′F′P′N′；
（2）根据正三角形，正方形，直角三角形相关线段之间的关系，找等量关系，列方程，求出正方形E′F′P′N′的边长；
（3）可以将两个正方形的边长设成未知数，把几何问题转化成代数的问题，即关于正方形边长的二次函数，再求最值.
解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求.
（2）解法1：如图②所示，设正方形E′F′P′N′的边长为x
作CH⊥AB于点H交N′P′于点K
在△CN′K中，N′K=，CK=CH-KH=（3+）-x
∵△CN′K是直角三角形，且∠CN′K=60°
∴N′K=CK，即·=[（3-）-x]
∴（+1）x=
解之x=3-3
这种解法利用了RT△CN′K的特殊角度，边N′K与边CK之间的数量关系，列出了等式，再把边的关系转化成正方形E′F′N′P′的边长x的方程，从而求出x的值.
解法2：如图②所示，设正方形E′F′P′N′的边长为x
设E′F′=x
∵△AE′N′∽△源于：本科www.7ctime.com
AHC
∴=
即x==
即x=（-）
解之x=3-3.
这种解法使用的是相似三角形的知识，利用相似中的对应边成比例将所求的边长放入比例中得出结果.这和北师大版九下课本中《最大面积是多少》一课中的引例类似.引例为：如图③所示，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD边分别在两直角边上.
（1）如果设矩形的一边AB=x，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为Ym，当x取何值时，Y的值最大是多少？
这道题的基本思路是利用两个直角三角形的相似，列出了比例，把未知的边放入比例中，即为：=，则可以用含有x的代数式表示AD了，这两种解法的基本思路是一样的.
（3）解：设正方形EFPH的边长PF为m，则在△BPF中BF=m.
由AE=AB-EF-BF得AE=（3+）-（m+m）
∵在△AND中，AD=DN=DE
∴DE+DE=（3+）-（m+m），即DE=3-m
∴S=m+（3-m）=2m-6m+9
此处m最大取第二问中的结论3-3，最小时如图⑤所示，易知ME=3-3，BE=3-，BF=3--m，△BPF∽△BME
∴=，即=
解之m=6-3
∴6-3≤m≤3-3
∵S=2m-6m+9是开口向上的二次函数，且对称轴为m=包含在6-3≤m≤3-3中
∴当m=时，S取最小值，S=2×（）-6（）+9=
又∵|6-3-|=|3-3-|
∴当m=6-3或m=3-3时，S取最大值，且S=2（3-3）-6（3-3）+9=99-54.
这种解法是数形结合思想的运用，将图形面积转化成二次函数的形式，再运用二次函数图像的增减性求最值，但是要求分步求出自变量的取值范围，运用第二问中的结论和三角形的相似来解决，特别是求m的最小值时，在第（1）问图形的基础上再作图，运用比例解决问题，这和前面提到的北师大版的九下课本中《最大面积是多少》一课引例的第二问类似，把面积问题转化成了关于边长的二次函数，求二次函数的最值来得到面积的最值，但是这道题难度增加了，特别是自变量的取值范围得出不容易，计算量大，思路基本一致，对学生来说有一定的难度，如果二次函数的基础扎实，使用这种方法就会得心应手.
大部分学生害怕中考压轴题，不能从心理上战胜它，如果把压轴题和教材联系起来，把教材的知识点和基本题型融入压轴题之中，就不是那么难了.教师应当鼓励并引导中等学生，至少要做出简单的前两问，尽量多得分.
中考压轴题是尖子生能否拿到高分甚至满分的决定性因素，也是教师们重点讲述的内容，所考查的知识点及基本思路与教材的联系至关重要.
2012年陕西省的压轴题涉及了正三角形的内接正方形的题目，第一问使用位似变换画出正三角形的内接正方形，第二问求第一问所画正三角形的内接正方形的边长，第三问求两个正方形的面积和的最值，在难度提高的同时计算量也增大了很多.
题目：正三角形ABC的边长为3+.
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E，F在边AB上，顶点N在边AC上.在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图④，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE，EF在边AB上，点P，N分别在边CB，CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由.
考查知识点：本题主要考查位似变换，等边三角形的性质，勾股定理，特殊的三角形，三角函数，正方形的性质，以及二次函数的应用.
分析：（1）要求利用位似图形的性质，做出正方形的EFPN的位似正方形E′F′P′N′；
（2）根据正三角形，正方形，直角三角形相关线段之间的关系，找等量关系，列方程，求出正方形E′F′P′N′的边长；
（3）可以将两个正方形的边长设成未知数，把几何问题转化成代数的问题，即关于正方形边长的二次函数，再求最值.
解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求.
（2）解法1：如图②所示，设正方形E′F′P′N′的边长为x
作CH⊥AB于点H交N′P′于点K
在△CN′K中，N′K=，CK=CH-KH=（3+）-x
∵△CN′K是直角三角形，且∠CN′K=60°
∴N′K=CK，即·=[（3-）-x]
∴（+1）x=
解之x=3-3
这种解法利用了RT△CN′K的特殊角度，边N′K与边CK之间的数量关系，列出了等式，再把边的关系转化成正方形E′F′N′P′的边长x的方程，从而求出x的值.
解法2：如图②所示，设正方形E′F′P′N′的边长为x
设E′F′=x
∵△AE′N′∽△源于：本科www.7ctime.com
AHC
∴=
即x==
即x=（-）
解之x=3-3.
这种解法使用的是相似三角形的知识，利用相似中的对应边成比例将所求的边长放入比例中得出结果.这和北师大版九下课本中《最大面积是多少》一课中的引例类似.引例为：如图③所示，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD边分别在两直角边上.
（1）如果设矩形的一边AB=x，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为Ym，当x取何值时，Y的值最大是多少？
这道题的基本思路是利用两个直角三角形的相似，列出了比例，把未知的边放入比例中，即为：=，则可以用含有x的代数式表示AD了，这两种解法的基本思路是一样的.
（3）解：设正方形EFPH的边长PF为m，则在△BPF中BF=m.
由AE=AB-EF-BF得AE=（3+）-（m+m）
∵在△AND中，AD=DN=DE
∴DE+DE=（3+）-（m+m），即DE=3-m
∴S=m+（3-m）=2m-6m+9
此处m最大取第二问中的结论3-3，最小时如图⑤所示，易知ME=3-3，BE=3-，BF=3--m，△BPF∽△BME
∴=，即=
解之m=6-3
∴6-3≤m≤3-3
∵S=2m-6m+9是开口向上的二次函数，且对称轴为m=包含在6-3≤m≤3-3中
∴当m=时，S取最小值，S=2×（）-6（）+9=
又∵|6-3-|=|3-3-|
∴当m=6-3或m=3-3时，S取最大值，且S=2（3-3）-6（3-3）+9=99-54.
这种解法是数形结合思想的运用，将图形面积转化成二次函数的形式，再运用二次函数图像的增减性求最值，但是要求分步求出自变量的取值范围，运用第二问中的结论和三角形的相似来解决，特别是求m的最小值时，在第（1）问图形的基础上再作图，运用比例解决问题，这和前面提到的北师大版的九下课本中《最大面积是多少》一课引例的第二问类似，把面积问题转化成了关于边长的二次函数，求二次函数的最值来得到面积的最值，但是这道题难度增加了，特别是自变量的取值范围得出不容易，计算量大，思路基本一致，对学生来说有一定的难度，如果二次函数的基础扎实，使用这种方法就会得心应手.
大部分学生害怕中考压轴题，不能从心理上战胜它，如果把压轴题和教材联系起来，把教材的知识点和基本题型融入压轴题之中，就不是那么难了.教师应当鼓励并引导中等学生，至少要做出简单的前两问，尽量多得分.