论有效性运用数学分类思想提高课堂教学有效性摭要求

论文导读：a—2=0，即a=2时，不等式的左边=0，不等式的右边=—1因为0>—1，所以不等式的解是一切实数。③当a—2<0，即a<2时，不等式的解是x<（a—2）/（a—3）3.根据图形的特征或相互间的关系进行分类如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切
数学分类思想，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将它分成几个不同种类的一种数学思想。它既是一种重要的数学思想，也是一种重要的数学逻辑方法。数学分类讨论方法就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
教学中可以从以下几个方面，让学生在数学学习过程中，通过类比、观察、分析、综合、抽象和概括，形成对分类思想的主动应用

一、 渗透分类思想，培养学生分类的意识

每个学生在日常中都具有一定的分类知识，如人群的分类、文具的分类等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的分类迁移到数学中来，在教学中挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机进行数学分类思想的渗透。如有理数的分类，绝对值的意义，不等式的性质等，都是渗透分类思想的很好机会。
教授完负数、有理数的概念后，及时引导学生对有理数进行分类，让学生了解到对不同的标准，有理数有不同的分类方法，如分为：
有理数：正有理数、零、负有理数（按照正负性来分）。或有理数：整数、分数。为下一步分类讨论奠定基础。
认识数a可表示任意数后，让学生对数a 进行分类，得出正数、零、负数三类。讲解绝对值的意义时，引导学生得到如下分类：
通过对正数、零、负数的绝对值的认识，了解如何用分类讨论的方法学习理解数学概念。
又如，两个有理数的比较大小，可分为：正数和正数、正数和零、正数和负数、负数和零、负数和负数几类情况来比较，而负数和负数的大小比较是新的知识点，这就突出了学习的重点。结合“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如若不然，对象混杂，标准不一，就会出现遗漏、重复等错误。如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

二、 教会学生分类方法，增强思维的严密性

在教学中渗透分类思想时，应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。掌握合理的分类方法，就成为解决问题的关键所在。分类的方法常有以下几种：
1. 根据数学的概念进行分类。有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。
例1 化简|a|+a
解： 当a>0时，|a|+a=a+a=2a
当a<0时，|a|+a=—a+a=0
这是按绝对值的意义进行分类。
错解：|a|+a=a+a=2a
比较正确解法与易得的错误解法，导致错误在于没有注意到字母可表示一切实数。而对数a进行分类讨论，即可得到正确的解答。
又如：学习一元二次方程 ， 根的判别式时，对于变形后的方程：（x—p）2=q用两边开平方求解，需要分类研究q大于0，q等于0，q小于0这三种情况对应方程解的情况。而正数有两个平方根、0的平方根就是0、负数没有平方根，是分类的依据。从而得到一元二次方程 的根的三种情况。

2. 根据运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的。如：

例2 解关于x的不等式：ax+3>2x+a
分析 通过移项不等式化为（a—2）x>a—3的形式，然后根源于：论文格式要求www.7ctime.com
据不等式的性质可分为a—2>0，a—2=0，和a—2<0三种情况分别解不等式。
①当a—2>0，即a>2时，不等式的解是x>（a—2）/（a—3）
②当a—2=0，即a=2时，不等式的左边=0，不等式的右边=—1
因为0>—1，所以不等式的解是一切实数。
③当a—2<0，即a<2时，不等式的解是x<（a—2）/（a—3）

3. 根据图形的特征或相互间的关系进行分类

如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。
例3 已知直角三角形的两边长为1和2，则第三边为？摇？摇？摇？摇。
分析 本题根据图形的特征，第三边可以是直角三角形的斜边，也可以是直角三角形的直角边，有两种情况（如图①、②）。这是从几何图形的点和线出现不同的位置进行分类。
我们在证明圆周角定理时，由于圆心的位置有在角的边上、角的内部，角的外部三种不同的情况，因此分三种不同情况分别讨论证明。先证明圆心在圆周角的一条边上，这种最容易解决的情况，然后通过作过圆周角顶点的直径，利用先证明（圆心在圆周角的一条边上）的这种情况来分别解决圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部这两种情况。这是一种从定理的证明过程中反映出来的分类讨论的思想和方法。它是根据几何图形点和线出现不同位置的情况逐一解决的方法。教材中在证明弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。也是如此分圆心在弦切角的一条边上，弦切角的内部、弦切角的外部三种不同情况解决的。

三、 引导学生分类讨论，提高多维解题能力

初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都是分类说明结论的，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就会以偏概全。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。
一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：
（1） 涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题。
例4 已知函救y=（m—1）x2+（m—2）x—1（m是实数）.如果函数的图象和x轴只有一个交点，求m的值.
分析 这里从函数分类的角度讨论，分m—1=0和m—1≠0两种情况来研究解决问题。
解：当m=l时函数就是一个一次函数y=—x—1，它与x轴只有一个交点（—1，0）。
当m≠1时，函数就是一个二次函数y=（m—1）x2+（m—2）x—1
当Δ=（m—2）2+4（m—1）=0，得 m=0.
抛物线y=—x2—2x—1，的顶点（—1，0）在x轴上
（2） 根论文导读：1）中的抛物线上时，求S的值；②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式.在解决（2）②问题时，当0<x≤1时，重合部分面积就梯形ABEF的面积，当1<x≤2时，重合部分面积就是五边形形ANCEF的面积由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常清晰，步骤非常的明了。另一方面在
据几何图形的点和线可能出现不同位置及图形的不同形状分情况，逐一讨论解决问题.
例5（2011年辽宁中考试题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD+∠CDA=90°，且tan∠BAD=2，AD在x轴上，点A的坐标（—1，0），点B在y轴的正半轴上，BC=OB.
（1） 求过点A、B、C的抛物线的解析式；
（2） 动点E从点B（不包括点B）出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形ABEF，点A、B的对应点分别是点A、B，设四边形ABEF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是（x，0）.
①当点A落在（1）中的抛物线上时，求S的值；
②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式.
在解决（2）②问题时，当0当1由以上的几个例子，我们可以看出分类讨论往往能使一些错综复杂的问题变得异常简单，解题思路非常清晰，步骤非常的明了。另一方面在讨论当中，可以激发学生学习数学的兴趣。
总之，充分利用现有教材中的文本资源，在教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，同时结合其它数学思想方法的学习、综合运用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维，会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。
（责任编辑：张静怡）