简论思想数学整体思想与其他数学思想之联系举例

论文导读：密切的联系.初中阶段将数的范围扩充到实数时，整数和分数被统一定义为有理数，而对小数却无分类，这时学生就会产生疑问，小数到底是怎样的数，它和实数之间有什么关系.在明确了有理数可以化为有限小数和无限循环小数，以及无理数是无限循环小数后，学生就可以理解小数的范围和实数的范围是一样的.进而可以将小数分类，小数的模型
数学整体思想指的是：把所研究的对象作为一个整体来对待，就是从全局看问题、从整体去思考，整体地把握条件和结论的联系，摆脱局部细节中一时难以弄清的数量关系的纠缠，以探求解决问题的思路或简化解决问题的过程.
张奠宙先生在《数学方法论稿》中将数学方法分成五个层次，将数学思想分为三个层次. 第一、基本的和重大的数学思想. 如：集合思想，数学结构思想和对应思想等. 第二、与一般科学方法相对应的数学思想. 如：化归思想，对立统一的思想等. 第三、数学特有的思想与解题技巧. 如：数形结合思想，函数思想，极限思想等. 根据数学整体思想的意义，笔者认为数学整体思想与三个层次的数学思想都有密切的联系. 现举例说明.

1. 整体思想与数学结构思想的关系

皮亚杰认为，所谓“结构”，是指一个由诸种转换规律组成的整体源于：大学生论文查重www.7ctime.com
，整体性、转换性和自我调节性是结构所具有的三个基本特征. 数学结构一般是指集合中元素间满足一定条件（公理）的某种关系. 用整体统一的观点去联系数学学科内越来越多的研究领域和分支时，将它们按结构性质统一分割分类，着眼于整个数学全局去看待各个数学分支是数学结构思想最显著的特征. 在初中数学教学中，强调结构思想主要是强调知识间的广泛关联性. 整体思想强调结构内元素之间的关联性，因为它可以优化系统整体的特性和功能. 例如，初中生在小学已学习过整数、分数和小数，但尚未建立密切的联系. 初中阶段将数的范围扩充到实数时，整数和分数被统一定义为有理数，而对小数却无分类，这时学生就会产生疑问，小数到底是怎样的数，它和实数之间有什么关系. 在明确了有理数可以化为有限小数和无限循环小数，以及无理数是无限循环小数后，学生就可以理解小数的范围和实数的范围是一样的. 进而可以将小数分类，小数的模型结构和实数的模型结构被统一为一个整体，当学生再遇到“千奇百怪”的数时，就能快速地在实数的整体结构中找到它的位置. 另一方面此时实数作为一个群也表现出整体内部元素的转换性. 如通过减法转换法则可以实现正负数之间的转换，通过乘法转换法则可以将无理数转换为有理数，等等. 学生越理解这些元素之间的联系，实数模型的整体功能也就越能被学生充分应用，迁移到其他问题情境中去，更进一步地说，学生理解了这种代数整体结构的封闭性，就可以为学习高等数学打下基础，从更高的观点来看待具体运算.

2. 整体思想与数形结合思想

数形结合思想结合了代数和几何的优点，几何图形直观便于理解，代数问题的解题过程机械化，可操作性强，便于把握. 它虽不属于第一层次的数学思想，但和第一层次中的对应思想、化归思想密切相关. 如实数和数轴上的点一一对应，即体现了数形结合，又体现了对应；又如用数形结合思想解决问题时，常是在化归思想的指导下实现几何问题与代数问题的相互转化. 事实上它与数学整体思想也是密切联系的. 我们对一门学科知识的理解应当是整体的、全面的、协调的. 通过数与形的结合，我们可以更深刻地理解初中数学的结构，认识代数与几何之间的纽带. 处理图形时，在直观的基础上抽象，通过数和式的转换，使图形的特征和几何关系刻画得更精细准确，抽象思维和形象思维结合起来，它们之间相互联系、相互补充和转化. 此时初中数学的两大组成部分紧紧联系在一起，当一个整体的内部元素相互作用强烈时，整体的功能也就大大加强. 从另一个方面看，数与形分别对应着人的大脑左右半球的思维重点，当它们相结合时，就可以充分发挥左右脑的思维功能，使它们相互激发，彼此依存，因此可以更全面深入地发展整体上的思维能力.

3. 整体思想与换元法之间的关系

换元法因操作性太强而难以称得上是数学思想，但在初中数学的学习过程中，它却是必须被掌握的. 其操作过程通常是将一个问题整体中的某个部分设为辅助元或未知元，以简化问题形式，这种操作方法就很直观地体现了整体和局部的关系. 设为辅助元的部分，被看作一个不可拆分的整体，这个整体当然是原整体的构成部分，当求出这个未知元后，它将转化成一个新问题的整体. 如解方程3x2 - 6x - 2■ + 4 = 0时，令■ = y，则原方程变形为3y2 - 2y - 8= 0，解出y = 2后，得到一个新的解方程问题x2 - 2x +论文导读：示出当k，从而得到用y表示x2的式子，进而求出x2的范围.学生熟练掌握用换元法解决问题后，如果能充分发挥整体思想的作用，可以省去换元的过程.例如，分解因式（x2-3x+2）（x2-3x-4）-72，可将x2-3x看做一个整体，直接得到（x2-3x）2-2（x2-3x）-80=（x2-3x+8）（x2-3x-10），不需要换元法这样的形式了.数学整体
4 = 4，从而求出x的值. 这个问题虽简单，但它表现出部分与整体的关联，以及部分和整体在某些情况下的相互转换，这些都是数学整体思想的重要内容. 再举一例：已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2 + （2k + 1）x + k2 - ■ = 0的两实数根，且x1 ≤ x2，求证：x2 ≤ ■. 先利用求根公式x2 = ■，换元令■ = y，用y表示出当k，从而得到用y表示x2的式子，进而求出x2的范围. 学生熟练掌握用换元法解决问题后，如果能充分发挥整体思想的作用，可以省去换元的过程. 例如，分解因式（x2 - 3x + 2）（x2 - 3x - 4）- 72，可将x2 - 3x看做一个整体，直接得到（x2 - 3x）2 - 2（x2 - 3x） - 80 = （x2 - 3x + 8）（x2 - 3x -10），不需要换元法这样的形式了.
数学整体思想还和其他众多数学思想方法有密切联系. 从大处看，如分类思想体现了整体按逻辑划分，及整体内元素的量变导致质变的辩证关系；从小处看，因式分解中的分组分解法体现了整体与部分、部分与部分之间的关联、影响，而且部分与部分之间的联系影响到整个问题的解决. 诸如此类不再枚举. 通过以上的分析和举例，我们可以看到在初中数学教学过程中注重培养学生的整体思想应当是首要的，这对于充分发挥数学教育的整体功能、实现数学创造性教育和提高教学质量，都有重要作用.
【参考文献】
冯光庭.整体化思想方法的功能及教学[J].湖北教育学院学报，2005（3）.
涂荣豹.新编数学教学论.上海：华东师范大学出版社，2006.