试议算子一个有趣微分算子矩阵

论文导读：
摘要：本文运用矩阵分析方法，构造了一个有趣的微分算子矩阵，在满足某种条件时，该微分算子矩阵作用于相乘的两个可微函数，能使得.
关键词二项式公式 矩阵 微分算子矩阵

在数学分析中，用Leibnitz法则计算两个阶可微函数乘积的阶导数，有如下公式：
. (1)
(1)与初等代数中，二项展开式
(2)
具有完全相同的形式。记微分算子矩阵
， (3)
其中表示常微分算子.用表示单位矩阵，表示主对角线下第一次对角线元素为1，其它位置的元素全为0的矩阵，即
，
则.
由于当时，，于是，
(4)
由(4)和(1)不难得出如下结论：
命题 若函数任意阶可微，则(4)满足等式
. (5)
更一般地，若，则满足(5).
事实上，由矩阵的幂级数展开式，，有

反之，若满足(5)，则.
因为满足(5)，即，取，有
，而，
所以，.
同理，令，有，而
，
于是，，注意到，所以，.
另一方面，由，
所以，.
综合上述，可得如下定理：
定理 若，则满足方程(5).反过来，若满足(5)，则.
特别地，当幂等时，满足(5).
定理呈现出了一个十分有趣的事实：满足定理条件的微分算子矩阵作用于，使得
.
即“两函数乘积的‘微分’等于这两个函数分别‘微分’的乘积”。这一性质，在高等数学的微分法中是不可能的。

参考文献

1.同济大学数学系，高等数学，高等教育出版社，2007

2.刘丁酉，矩阵分析，武汉大学出版社，2003

3.北京大学数学力学系，高等代数，人民教育出版社，1978

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Xiao Yesheng
（Wuhan Engineering InstituteWuhan：430080）
Abstract：Thispaperuseatrixanalysiethod,constructedan
interestingdifferentiatormatrix: .WhenA,Bmeetcertain
conditions,andactingthiatrixonthemultiplicationoftwodifferentiablefunctions:,canbederived.
Key words：binomial formula,matrix,differentiator