试论求法数列通项公式求法浅见

论文导读：的形式，所以不管条件中有几项，最后都要消去只留下an一项。1、等差、等比数列的通项公式直接利用公式求解等差数列：an=a1+（n-1）×d等比数列：an=a1×qn-1（q≠0）2、an+1=an+q（q为常数）型将上式变形an+1=an+q（q为常数）an+1-an=q，从而数列an是以a1为首项，以q为公差的等差数列，再利用等差数列通项公式an=a1+（n-1）×d求解
数列是高考的难点之一，一般情况下，在简答题中必出，难度稍偏高，而求数列的通项公式更是数列中的重点，由于通常涉及的题型较多，很多学生只知道累加、累乘法，甚至只是听说过，不得其要领，得分相对来说较低。而且，有不少讲述求数列通项公式的课外资料，但在本人看来，几乎大同小异，缺乏更深层次的思考和总结，导致学生把同类型的题，会了这道不会那道。
众所周知，数列中最基础也是最简单的数列是等差数列和等比数列，而且教科书也只给出了它们通项公式和求和公式，这就说明，等差数列和等比数列是其他数列求解的根基，其它数列的通项公式和求和一般都是通过间接转化为等差数列和等比数列相关的通项公式和求和公式进行求解。
综合各类数列求通项公式的题型，无非就包含两类元素an和sn两类，下面我就各种常见题型进行分类讨论：

一、已知条件含有an的通项公式的求法

通项公式无非就是写成an=f（n）的形式，所以不管条件中有几项，最后都要消去只留下an一项。

1、等差、等比数列的通项公式直接利用公式求解

等差数列：an=a1+（n-1）×d等比数列：an=a1×qn-1（q≠0）

2、an+1=an+q（q为常数）型

将上式变形an+1=an+q（q为常数）an+1-an=q，从而数列an是以a1为首项，以q为公差的等差数列，再利用等差数列通项公式an=a1+（n-1）×d求解。
例1：已知数列中{an}，a1=1，an+1=an+2，求数列{an}的通项公式。

3、an+1=an+f（n）型（累加法）

将上式变形an+1=an+f（n）an+1-an=f（n）再利用累加形式：an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+……+（a2-a1）+a1=f（n-1）+f（n-2）+f（n-3）+……+f（1）+a1再利用f（n）进行求解。
例2：已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n+1，求数列{an}的通项公式。

4、an+1=an×f（n）型（累乘法）

将上式变形an+1=an×f（n）an+1an=f（n）再利用累乘形式： an=anan-1×an-1an-2×an-2an-3×……×a3a2×a2a1×a1=f（n-1）×f（n-2）×f（n-3）×……×f（2）×f（1）再利用f（n）进行求解。
例3：已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+（2n+1），求数列{an}的通项公式。

5、an+1=qanpan+1（q≠0）

将上式变形an+1=qanpan+11an+1=pq+1an1an+1-1an=pq（pq为常数）得到数列1an是以1a1为首项以pq为公差的等差数列，再利用等差数列通项公式an=a1+（n-1）×d求解，
1an=1a1+（n-1）pqan=11a1+（n-1）pq。
例4：已知数列{an}中，a1=1，an+1= 2an4an+1 求数列{an}的通项公式。

6、an+1=p×an+q

设存在实数k能将上式写成an+1+k=p（an+k）………①an+1=p×an+p×k-k与an+1=p×an+q对比系数得
（p-1）k=qk=qp-1
代入①式an+1+k=p（an+k）得：an+1+k=p（an+k）
an+1+qp-1 an + 1 + qp - 1an + qp - 1 = p由等比数列可知：
数列an+qp-1是以a1+qp-1为首项，以p为公比的等比数列，从而再利用等差数列通项公式求解得an+qp-1= （a1+qp-1）×pn-1即an= （a1+qp-1）× pn-1- qp-1。例5：已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+3，求数列{an}的通项公式。7、an+1=p×an+f（n）型①、当f（n）为An+B型时，可设上式可转化为：an+1+M（n+1）+N=P ×（an+Mn+N） ………① 将①式变形得 an+1=p×an+p ×M× n+P×N-M×n-M-N =p×an+（ p ×M-M）n+PN-M-N对比系数可得： A=pM-MB=pN-M-N M=Ap-1N=M+Bp-1 将M、N分别代入①式an+1+M（n+1）+N =P ×（an+Mn+N）中可得：an+1论文导读：除以cn+1得an+1cn+1+k=pc（ancn+k）an+1cn+1+kancn+k=pc即：数列{ancn+k}是以为a1c1+k首项以pc为公比的等比数列，由an+1cn+1+k=pc（ancn+k）an+1=pcn（ancn+k）-kcn+1=pan+pk-kcn+1对比系数得f（n）=pk-kcn+1k=f（n）p-cn+1将k=f（n）p-cn+1代入ancn+k=（a1c1+k）×（pc）n-1an=cn（a1c1+k）×（pc）n-1-kcn即可得到。例7：已知
+M（n+1）+Nan+Mn+N=p即 ：数列an+Mn+N是以a1+M+N为首项以p为公比的等比数列：由等比数列的通项公式得：an+Mn+N=（a1+M+N）×pn-1化简得：an=（a1+M+N）×pn-1-Mn-N。例6：已知数列{an}中，a1=1，an+12an+3n-1，求数列{an}的通项公式。②、当f（n）为cn型时，即an+1=p×an+f（n）两边同除以cn+1得 an+1cn+1 +k=pc（ancn +k） an+1cn+1 +kancn+k =pc 即 ：数列{ancn+k }是以为a1c1+k 首项以pc 为公比的等比数列，由an+1cn+1 +k=pc（ancn +k） an+1=pcn（ancn+k）-kcn+1=pan+pk-kcn+1对比系数得f（n）=pk-kcn+1k=f（n）p-cn+1 将k=f（n）p-cn+1 代入ancn+k=（a1c1+k ）×（pc ）n-1 an=cn（a1c1+k ）×（pc ）n-1-kcn即可得到。例7：已知数列{an}中，a1，an+1=2an+3n，求数列{an}的通项公式。二、已知条件含有sn的通项公式的求法此类一般是依据an=sn-sn-1思想，把sn之类的全部转化为数列的项an进行求解。例8：在数列{an}中，已知，，求数列的通项公式。注意：这里要注意n=1时的讨论，若n=1时满足n=2时的情形则结果和在一起写，否则利用分段函数的形式写出来即：an=s1（n=1）sn-sn-1（n2）。三、已知条件含有an和sn的通项公式的求法此类一般也是依an=sn-sn-1据思想，把sn之类的全部转化为数列的项an进行求解。例9：已知数列{an}中，a1=1，sn=2an+3，求数列{an}的通项公式。以上就是常见的一些数列通项公式的求法，这些知识点属于拓展性的内容，虽然超出了课本的要求范围，但它们在高考题中经常会见到，有时还是以证明题的形式出现的，如果大家比较系统的掌握了这些知识点，以后碰到这类问题就会胸有成竹了。 这是本人的一点浅显见解，希望各位同仁和专家能多多给予批评和指正，以期能从各位专家的精心教导中，达到学习提高的目的。中国论文中心www.7ctime.com