关于定理值得深思一道定理证明结论

论文导读：
“三角形内角和定理”运用十分广泛，而这个定理的证明也成为数学教师普遍关注的问题.在初二数学期末考试中就出现了这个定理证明（要求画图，写已知，求证，证明）.阅卷时，我发现学生的解法五花八门。有的学生的解题方法值得我们探究，也或者说是对我们的教学有很大的启示作用.现将学生的几种解法展示如下.

一、学生解法

解法一：如图1：延长BC到E，过C作CD∥AB.
∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），
∴∠A+∠3+∠B=180°（等量代换）.
即∠A+∠ACB+∠B=180°.
图1 图2
解法二：如图2：延长BC到D.
∵∠1是△ABC的外角（外角定义），
∴∠1=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）.
∵∠1+∠2=180°（平角定义），
∴∠A+∠2+∠B=180°（等量代换）.
我们在阅卷时发现很多学生使用解法二，乍一看这种解法无懈可击，顺理成章，而且十分简单明了，让人一看便懂.但是通过仔细分析发现这种解法根本不正确.因为在此解法中用到了三角形内角和定理的推论，即“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”证明，即用定理的推论证明了定理.这样的解法看似正确，实质上反映了学生经常会犯的逻辑循环错误.
再看另一种解法：
解法三：如图3：过C作CD∥AB.
∴∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠DCB+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），
即∠1+∠2+∠B=180°.
∴∠A+∠2+∠B=180°（等量代换），
即∠A+∠ACB+∠B=180°.
图3

二、解法的讨论

经过调查分析，学生之所以选择解法二是受解法一的影响，而解法一是正确的，用了“特殊化思想”解决问题.所谓“特殊化思想”就是针对具体的“探究问题”而产生的一种“特殊思路”.但它不能脱离“用已有知识解决新问题”这一一般规律.正如三角形内角和定理的证明，先让学生通过画不同三角形，度量各角，得出三内角和为180°，让学生有了感性认识.同时在平时的教学中我们还采用剪下两角与剩余一角相拼成一个平角这一“特殊化思想”说明“三内角和为180°”这个定理，这种从实践中得来的感性认识给学生留下了深刻的印象.
其实用解法二的学生在学习该定理证明时，可能也记得要用平角180°证明，但不理解是剪下两角后将三个角拼在一起，而盲目地用外角证明.
对于解法三，在肯定学生答案的同时，让他们比较解法一和解法三.对于这种另辟蹊径的做法，学生展开了热烈讨论.通过比较，学生惊喜地发现这两种解法的不同之处在于添加辅助线的不同，虽然解法三只有一条辅助线，但通过平行线性质的灵活运用，也达到了意想不到的效果.思路较第一种更开阔，更简便，不觉让人眼前一亮，学生不禁为这种解法的思路拍案叫绝.
对于解法

三、在听了罗增儒教授的报告后我也有了更新的认识，且看：

∠A+∠B+∠C=180°.
在这个变化过程中，看到了三角形内角和为常数，
这个常数就是180°，因为
∠ACA=∠BAC（两直线平行，内错角相等），
所以∠BAC+∠B+∠ACB=∠ACA+∠B+∠BCA=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
三、启示
教师要善于发现学生解题中的有研究价值的问题，这些问题的挖掘与探究有利于培养学生的发散思维，对今后的解题教学有很大的帮助.平面几何的魅力不仅在于其说理的严密与优雅，而且思路的开放往往能够使学生获得意想不到的惊喜.解法的多样性是几何问题的特征之一，好的问题可让学生从不同的角度打开思路，激发学生发现和创造解题方法的强烈，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用，锻炼学生思维的广阔性和深刻性、灵活性和独创性.从而培养学生的思维品质，发展学生的创造性思维，提高学生的发散思维能力.
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”.数学思维方式的培养，对于学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响.多角度的思维方式真正让学生从解题中看到了几何学的无尽魅力，在数学天地里畅游，领会到“柳暗花明又一村”的无穷妙处.
参考文献：
罗增儒.中学数学解题的理论与实践.
马小为.中学数学解题思想方法技巧（初中）.论文导读：源于：毕业论文总结www.7ctime.com上一页12

源于：毕业论文总结www.7ctime.com