例谈两点之间线段最短-站
最后更新时间：2024-03-17
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论文导读：
在数学问题中，有一类问题是求距离最短或周长最小的问题，许多同学望而生畏、一筹莫展.实际上，解此类问题的关键是将问题转化为平面上两点之间线段最短的问题来解决，下面举例说明.
例1：如图1，要在河边（直线l）修建一个水泵站，分别向A村、B村送水，问修在河边什么地方可使所用的水管最短？
解析：如图2，作出点A关于河边所在直线的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时点P到点A点A′距离相等，根据两点之间线段最短可知A′B最短，所以PA+PB有最小值，即水泵站应建在P处，才能使水泵站到A村B村距离之和最小.
将直线同侧两点转化到异侧，构造出两点之间的线段，这对于以下几题都具有直接的思想指导作用.
例2：如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上的一动点，求PA+PC的最小值.
解析：如图3，延长AO交⊙O于D，则A、D关于OB所在直线对称，连接CD交OB于P，此时，由例1可知PA+PC最小.因为∠AOC=60°，所以∠COD=120°，作OE⊥CD，由垂径定理可求出CD=2，即PA+PC的最小值为2.
归纳：在圆内，利用圆的轴对称性质寻找对称点快捷独特，具有典型性.
例3：如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值.
解析：如图5，分别作P点关于OB，OA的对称点P，P，连接PP交OB、OA于点R、Q，则PR=PR， PQ=PQ，△PQR的周长就等于PP的长，此时周长最小.连接OP，OP，则OP=OP=OP=10，∠POP=2∠AOB=90°，所以可求得PP＝10，即△PQR周长的最小值为10.
归纳：本题作点P关于角的两边的对称点，将三角形的周长转化为线段的长，同时利用对称的性质构造等腰直角三角形，构思巧妙.
例4：如图6，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM.
（1）当M点在何处时，AM+CM的值最小？
（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？
解析：如图7：（1）显然M点在BD的中点时，A、M、C三点在同一条直线上，AM+CM的值最小.
（2）由题意可知，连接CE交BD于M点，在CE上取N点使∠MBN=60°，可证△ABM≌△EBN，得EN=AM；△BMN为等边三角形，得BN=BM=MN，可得AM+BM+CM＝CE，此时AM+BM+CM的值最小.
归纳：本题利用旋转作为内在的变换，将（2）中的三条线段构造为一条线段，从而形成两点之间线段最短解题.
例5（2010天津）：在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在ｘ轴、ｙ轴源于：7彩论文网毕业www.7ctime.com
的正半轴，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标.
（2）若E、F为OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
解析：（1）如图8，作D点关于x轴的对称点Q，连接CQ交x轴于E，由例1可知：此时△CDE的周长最小.CQ的解析式为：y=2x-2，可求得E（1，0）.
（2）如图9，作D点关于x轴的对称点Q，在线段BC上取点M，使CM=EF=2，连接QM，交x轴于E点，过C点作QM的平行线交x轴于F点，可知四边形EFCM为平行四边形，ME=CF，在四边形CDEF中，边CD、EF为定值，此时QE+ME=DE+CF最小，所以四边形CDEF的周长最小.MQ的解析式为y=6x-2，可求得E（，0），F（，0）.
归纳：本题坐标系中的对称性确定对称点，特别是第二问中构造平行四边形，利用平行四边形的对边相等性质来寻找E、F两点的位置，立意巧妙.
以上问题都是在平面图形中的两点之间线段最短问题，另外还有一些讨论立体图形中两点之间线段最短问题，以下列举两例做简要分析.
例6：如图10，一长方体的长、宽、高分别为4、3、5，一只蚂蚁要从A点沿表面爬到C点寻找食物，则蚂蚁爬行的最短路径为?摇?摇?摇?摇.
解析：我们要把立体图形展开为平面图形，转化为两点之间线段最短的问题.但是，该长方体的长宽高不等，则有以下三种展开方式：
经比较发现最小值为.
归纳：长方体的长宽高分别为：a、b、c，则异面两顶点之间的距离根据不同的展开图为：，，，然后经比较确定最小值.
例7：如图11，一个圆锥形的粮堆，母线长4米，底面圆半径为1米，一只老鼠在底面圆上的某点A处，该老鼠要绕粮堆爬一周回到原处的最短路程是?摇?摇 ?摇?摇.
解析：如图11，沿圆锥的母线OA将圆锥的侧面展开，得扇形OAA′，则最短路径为线段AA′，可求得扇形圆心角的度数为90°，在直角△OAA′中，AA′=4米，即老鼠爬行一周的最短路程为4米.
数学的教学与学习要注重知识的归纳、归类，从而寻找特定的方法来解决问题，思路明确，具有一定的针对性、代表性.以上几例是我在教学过程中选举的一些典例加以说明.
在数学问题中，有一类问题是求距离最短或周长最小的问题，许多同学望而生畏、一筹莫展.实际上，解此类问题的关键是将问题转化为平面上两点之间线段最短的问题来解决，下面举例说明.
例1：如图1，要在河边（直线l）修建一个水泵站，分别向A村、B村送水，问修在河边什么地方可使所用的水管最短？
解析：如图2，作出点A关于河边所在直线的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，此时点P到点A点A′距离相等，根据两点之间线段最短可知A′B最短，所以PA+PB有最小值，即水泵站应建在P处，才能使水泵站到A村B村距离之和最小.
将直线同侧两点转化到异侧，构造出两点之间的线段，这对于以下几题都具有直接的思想指导作用.
例2：如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上的一动点，求PA+PC的最小值.
解析：如图3，延长AO交⊙O于D，则A、D关于OB所在直线对称，连接CD交OB于P，此时，由例1可知PA+PC最小.因为∠AOC=60°，所以∠COD=120°，作OE⊥CD，由垂径定理可求出CD=2，即PA+PC的最小值为2.
归纳：在圆内，利用圆的轴对称性质寻找对称点快捷独特，具有典型性.
例3：如图4，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q，R分别是OA，OB上的动点，求△PQR周长的最小值.
解析：如图5，分别作P点关于OB，OA的对称点P，P，连接PP交OB、OA于点R、Q，则PR=PR， PQ=PQ，△PQR的周长就等于PP的长，此时周长最小.连接OP，OP，则OP=OP=OP=10，∠POP=2∠AOB=90°，所以可求得PP＝10，即△PQR周长的最小值为10.
归纳：本题作点P关于角的两边的对称点，将三角形的周长转化为线段的长，同时利用对称的性质构造等腰直角三角形，构思巧妙.
例4：如图6，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM.
（1）当M点在何处时，AM+CM的值最小？
（2）当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？
解析：如图7：（1）显然M点在BD的中点时，A、M、C三点在同一条直线上，AM+CM的值最小.
（2）由题意可知，连接CE交BD于M点，在CE上取N点使∠MBN=60°，可证△ABM≌△EBN，得EN=AM；△BMN为等边三角形，得BN=BM=MN，可得AM+BM+CM＝CE，此时AM+BM+CM的值最小.
归纳：本题利用旋转作为内在的变换，将（2）中的三条线段构造为一条线段，从而形成两点之间线段最短解题.
例5（2010天津）：在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在ｘ轴、ｙ轴源于：7彩论文网毕业www.7ctime.com
的正半轴，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.
（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标.
（2）若E、F为OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.
解析：（1）如图8，作D点关于x轴的对称点Q，连接CQ交x轴于E，由例1可知：此时△CDE的周长最小.CQ的解析式为：y=2x-2，可求得E（1，0）.
（2）如图9，作D点关于x轴的对称点Q，在线段BC上取点M，使CM=EF=2，连接QM，交x轴于E点，过C点作QM的平行线交x轴于F点，可知四边形EFCM为平行四边形，ME=CF，在四边形CDEF中，边CD、EF为定值，此时QE+ME=DE+CF最小，所以四边形CDEF的周长最小.MQ的解析式为y=6x-2，可求得E（，0），F（，0）.
归纳：本题坐标系中的对称性确定对称点，特别是第二问中构造平行四边形，利用平行四边形的对边相等性质来寻找E、F两点的位置，立意巧妙.
以上问题都是在平面图形中的两点之间线段最短问题，另外还有一些讨论立体图形中两点之间线段最短问题，以下列举两例做简要分析.
例6：如图10，一长方体的长、宽、高分别为4、3、5，一只蚂蚁要从A点沿表面爬到C点寻找食物，则蚂蚁爬行的最短路径为?摇?摇?摇?摇.
解析：我们要把立体图形展开为平面图形，转化为两点之间线段最短的问题.但是，该长方体的长宽高不等，则有以下三种展开方式：
经比较发现最小值为.
归纳：长方体的长宽高分别为：a、b、c，则异面两顶点之间的距离根据不同的展开图为：，，，然后经比较确定最小值.
例7：如图11，一个圆锥形的粮堆，母线长4米，底面圆半径为1米，一只老鼠在底面圆上的某点A处，该老鼠要绕粮堆爬一周回到原处的最短路程是?摇?摇 ?摇?摇.
解析：如图11，沿圆锥的母线OA将圆锥的侧面展开，得扇形OAA′，则最短路径为线段AA′，可求得扇形圆心角的度数为90°，在直角△OAA′中，AA′=4米，即老鼠爬行一周的最短路程为4米.
数学的教学与学习要注重知识的归纳、归类，从而寻找特定的方法来解决问题，思路明确，具有一定的针对性、代表性.以上几例是我在教学过程中选举的一些典例加以说明.