数学中“退而求进”策略-

论文导读：g(-b)（3）f(a)-f(-b)﹥g(b)-g(-a)（4）f(a)-f(-b)﹤g(b)-g(-a)其中成立的是（）（A）（1）与（4）（B）（2）与（3）（C）（1）与（3）（D）（2）与（4）分析：本题若从正面解则较繁，若奇函数和偶函数退为f(x)=x，g(x)=∣x∣，令a=3，b=2，便可以得解（C）。例4已知椭圆x2a2+y2b2=1(a，b，0)长轴为AB，将AB分成2n+1等份，过这2
常言：“退一步海阔天空”，解决数学问题又何尝不是如此，这“退一步”给思维下了广阔的回旋空间，常常会出现灵感，使问题的思考峰回路转，柳暗花明。本文举例说明解决数学问题中“退而求进”策略的应用。
1. 退一般为特殊 对于某些复杂的问题，若正面作一般推理往往难以奏效，但若考虑“特殊”情形，比如特殊点、特殊值、特殊图形、特殊式子等则可以轻易得解。
例1 已知函数f(x) =1ln(x+1)-x；则 y=f(x)的图像（图1）大致为()
分析：取x=1 ，ln2-2﹤0 ∴排除A
图1取x=- 12，ln12+12=12-ln2﹤0　 ，排除C、D ∴应选B
例2 设a﹥b﹥c﹥0 ，p= (a+b)2+b2，q= a2+ (b+c)2，s= (a+b)2+c2 则 p，q，s中最小值为（ 　）
（A）p （B） q （C） s （D）都有可能
分析：可取a=3 ，b=2 ， c=1，则 p= 20， q= 18， s= 26 ∴应选（C）。

2. 退抽象为具体

例3 定义在区间(-∞，+∞) 上的奇函数f(x) 为增函数，偶函数g(x) 在［0，+∞］ 的图象与 f(x) 图象重合，设 a﹥b﹥0 ，给出不等式：
（1）f(b)-f(-a) ﹥g(a)-g(-b) （2） f(b)-f(-a) ﹤g(a)-g(-b)
（3）f(a)-f(-b) ﹥g(b)-g(-a) （4） f(a)-f(-b) ﹤g(b)-g(-a)
其中成立的是（ ）
（A）（1）与（4） （B）（2）与（3） （C）（1）与（3） （D）（2）与（4）
分析：本题若从正面解则较繁，若奇函数和偶函数退为f(x)=x ，g(x)=∣x∣ ， 令a=3 ，b=2 ，便可以得解（C）。
例4 已知椭圆x2a2+y2b2 =1 (a，b，0)长轴为AB，将AB分成2n+1 等份，过这 2n个分点分别做x 轴的垂线与椭圆的上半部分交于p1，p2，p3KKp2n ， F为椭圆的左焦点，则∣P1F∣ +∣P2F∣+ ∣P3F∣+KK+∣PnF∣=_________
分析：可以取n=2 、

3、4时，求出和，从而找出规律得出一般结论。

3. 退整体为局部 有时从问题的整体去思考颇为费解，若退为局部，就很容易找到解决问题的途径。
例5 是否存在常数a，b，c ， ， 使得1·22+2·32+3·42K K n·(n+1)=n(n+1)2(an2+bn+c)
对一切自然数 n都成立？证明你的结论。
分析：此题为探索题，问题等式要对一切n∈N 这个整体都成立，可将整体N 退为局部，取n∈{1，2，3}来考察a、b、c 是否存在，即可得
4=16(a+b+c) (n=1)
22=12(4a+3摘自：7彩论文网学术论文翻译www.7ctime.com
b+c) (n=2)
70=9a+3b+c (n=3)
解得： a=3， b=11， c=10
代入等式，再用数学归纳法证明。

4. 退高次为低次

例6 解方程： (x+8)1999+x1999+2x+8=0
分析：方程可化为 (x+8)1999+(x+8)=(-x)1999+(-x)
可令f(x)= (x)1999+x 则有f(x+8)=f(-x) ， Q f(x)在R 上是单调增函数， ∴x+8=-x， 即 x=-4。
从以上例子中可以看出，解决数学问题时应用“退而求进”的策略可化难为易、化繁为简，化抽象为具体。只要我们平时多留意，多积累，定能有丰硕收获。