阐释线性规划与线性规划交汇题

论文导读：
摘要：线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，线性规划是直线方程的一个简单应用，它与解析几何、向量、不等式、概率可交汇进行综合命题。
关键词：线性规划；几何向量；交汇题
1002-7661（2012）21-263-03
纵观近些年的高考题，细细品味发现：重视在“知识的交汇处命题”是高考数学命题的一大特点，因为知识的交汇处既体现了知识的内在联系，又能更好考查学生的数学综合能力。本人结合自己的教学体会和2011年江西省各地模拟试题及全国各省高考题，对其中的线性规划题作一简单归纳。

1、线性规划与解析几何交汇

例1：（江西省南昌市2011届高三第三次联考）已知x，y满足不等式组 ，则 的最小值为（）
A. B. 2C. 3D.
分析与简解：
欲求最小值的式子可化为 ，即表示区域内动点（x，y）与定点（-1，1）的距离的平方，故画出线性约束条件下不等式组所表示的平面区域，如上图，易知问题可转化为求点（-1，1）到直线y=x的距离的平方，易算得2，故选B。
归纳：线性规划能很好地把数与形结合起来，故它与解析几何交汇很自然，此类题首先要准确画出不等式组表示的平面区域，即完成由数到形的转化，然后根据式子的几何意义，直观观察求得相关结论。
（1）（江西省吉安市2011年高三期末联考卷）若点P在区域 内，则点P到直线 距离的最大值为______
（2）（江西省上饶市重点中学2011届高三联考）设 ，若实数x，y满足条件 ，则 的最大值是_______。
（3）（江西省2011届高三九校联考）设x，y满足约束条件 ，则 的取值范围是（）
A.B.
C. （ ）D.

2.线性规划与函数，方程交汇

例2：（江西省八所重点中学2011年高三联考）已知函数f（x）的定义域为 ，且f（6）=2，f/（x）为f（x）的导函数，f/（x）的图象如上图所示，若正数a，b满足f（2a+b）<2，则 的取值范围是（）
A.B.
C.D.
分析与简解：
由导函数图象知， ，f（x）递增，故由f 可知： ，作出可行域△ABO内部，如上图所示，易知 表示区域内点（a，b）与定点P（2，-3）连线的斜率，易求得 ，故选A。
例3：（江西省新余一中2011届高三六模）已知函数 的一个零点为x=1，另外两个零点可分别作为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则 取值范围是__________.
分析与简解：
依题意函数的三个零点即方程 的三根，且 ，故方程可等价为 有两不等根，一根在（0，1）上，另一根在（1，+∞）上，即 ，作出可行域，易求得直线a+b+1=0与2a+b+3=0的交点A为（-2，1），故可求得 ，故 的范围应为 .

3.线性规划与概率交汇

例4：（江西赣州市2011年高三摸底考试）在平面xOy内，向图形 内投点，则点落在由不等式组所确定的平面区域的概率为__摘自：毕业论文格式模板www.7ctime.com
______.
分析与简解：
记事件A为点落在由不等组确定的区域内，作出该区域，如上图所示，易求得其面积为 ，另外试验的全部结果所构成的区域面积应为圆 的面积，应求得为4π，故 .
归纳：涉及到几何概型中的面积比常用到平面区域面积。又如
（1）（江西省九江市2011届高三七校联考）已知点P（x，y）在约束条件 所围成的平面区域上，则点P（x，y）满足不等式 的概率是________.
（2）（江西省吉安市2011届高三一模）已知函数 ，实数a，b满足，则函数 在[1，2]上为减函数的概率是（ ）
AB CD

4.线性规划与向量交汇

例5：（2011福建理科）已知O是坐标原点，点A（—1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则 的取值范围是（）
A.[-1，0] B.[0，1]
C.[0，2] D.[-1，2]
分析与简解：
准确做出不等式组所表示的平面区域，如上图所示阴影区域：
由 表示 在 方向上的投影与 的模的积，观察易得点M分别在点B，D处使 取得最小值0，最大值2，故选C.
在2011年高考及各地模拟卷中，向量与线性规划交汇的题还有：
（1）（2011广东理）已知平面直角坐标系xOy上的区域D，由不等式组 给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为 ，则 的最大值为（）
A.3B.4 C. D.
（2）（江西省重点中学协作体2011届高三第二次联考）已知点P（x，y）满足条件 ，点A（2，1），则 的最大值为（）
A. B.C . D. 2
参：（1）4 （2）5 （3）D（1）（2）B（1）B （2）D