导数在中学数学中应用

论文导读：
求导作为数学的有力工具，一种数学方法，在代数、几何、三角函数等解题中起着重要的作用，为此，我们要熟练的掌握求导。导数在中学数学中的应用有源于：免费毕业论文www.7ctime.com
许多，本文主要介绍的是利用导数求光滑曲线的斜率、利用导数判断函数的单调性、利用导数求极值、利用导数求最值、利用导数证明不等式、利用导数求参数的取值范围、利用导数解决实际应用题。求导的方法是灵活多变的，我们只有熟练掌握方法后，再加以综合运用，才能更有效的解决问题。
导数具有丰富多彩的性质和特性，利用导数研究或处理问题，既可以加深对导数的理解，又可以为解决问题提供有利的方法，使得问题得以简化。导数是新教材的新增内容，它体现了现代数学思想，又是初等数学与高等数学的重要衔接点，是高考的热点。
导数在中学数学若干方面的应用：

1.利用导数求光滑曲线切线的斜率

根据导数的几何意义：函数在某点x0处的导数就是曲线在点处的切线斜率。因此在解决几何有关涉及切线斜率问题时，可通过求导的办法来解决。
例1：已知函数若=-1求曲线在点处的切线方程。
解：=-1时
，又切点为
在点处的曲线的切线方程为：

2.利用导数判断函数的单调性

利用导数判断函数单调性是利用导函数在是可导函数。在该区间上，若，函数是增函数；若函数是减函数。因此该函数的单调增区间就是的解，单调减区间则是的解。依据导数在某一区间的符号来确定单调区间，体现了形象思维的直观性。
例2：已知的一个极值点是 =3，试用的式子表示，并求的单调区间。
解：
令，得由于是的极值点，即
当时，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
当时， ，故 在 上单调递减，在上单调递增，在 上单调递减

3.利用导数求函数极值

极值是函数值，即取得极值的对应的纵坐标，极值点是指函数取得极值时对应的横坐标，即自变量的取值。判断或讨论函数的极值问题是导数与函数综合问题的最佳体现，具体判定方法是：若函数在处连续且，若在附近左侧，右侧，则为极大值；若在附近左侧，右侧，则为极小值。
例3：已知函数在取得极值，讨论和是函数的极大值还是极小值？
解：，依题意
即
解得
令 ,得
当 时，
故在上增函数，在上是增函数
当时，
故在上是减函数，所以是极大值；是极小值

4.利用导数求函数最值

用求导方法求函数的最值问题，是简化用初等方法求最值的最佳手段，因为闭区间上函数的最大值，最小值只能在极值点处取得，其基本思路是：（1）求；（2）令，解得极值点；（3）讨论在极值点两侧值的正负情况，若，则在此区间为增函数，若，则在此区间为减函数，再由单调性判断极大（小）值；（4）求两个区间端点所对应的函数值，与极值加以比较，最大的是函数的最大值，最小的为函数的最小值
例4：求函数在[0，2]上的最大值与最小值
解：，令即解得（舍去），
当时，，函数单调递增
当时，，函数单调递减
所以为函数的极大值
又因为，所以
即为函数在[0，2]上的最小值，为函数在[0，2]上的最大值

5.利用导数求参数取值范围

利用已知函数在某区间上的单调性求参数范围的问题，是函数导数的一个简单应用，也就是说，根据函数导数可判断函数增减性，反之也可依据函数的增减性求有关的参量。
例5：已知函数，若不等式对任意恒成立，求参数 的取值范围。
解： 对恒成立，等价于
对恒成立，等价于令则
，当时，，当时，
在上是增函数，在上是减函数，即
综上，

6.利用导数证明不等式

欲比和的大小，，且和在可导，可构造函数，若，则函数在上是增函数，如果，由增函数的定义可知，当时，有，即。若，则函数在上是减函数，如果，由减函数的定义可知，当时，有 ，即。
例6：证明：
解：由本问题的特点可构造函数来解，首先证明
令则，显然对于 ，
所以函数在 上为增函数，又函数在处连续，
且当时，所以对于一切有，
故
即
同理可证明：
综上所述原题得证。

7.解决实际应用题

在现实生活中，如制容器，距离问题等等，都可以用导数的知识将这些问题得以解决。
例7：用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时，容器的容积最大；并求出它的最大值？
解：设容器底面短边为，则另一边长为,高为，
由且得，设容器的容积为，则有：
令解得（不合题意，舍去）
当时，；当
函数上单调递增，在(1,

1.6)上单调递减

因此当时，，高为
故容器的高为时容器最大，最大容积为
答：容器的高是，最大容积是
通过以上例题的解答，我们可以看出导数在中学数学中的应用很广。它作为一种有力的数学工具，一种数学方法，利用它来研究和处理中学数学中的问题，不但能使复杂的问题得到简化，而且还能让我们加深对导数的理解。
(作者通联：621100四川省三台县三台中学）