试论函数复变函数中留数计算模式学位

论文导读：极点计算假设z0是f（z）的一阶极点，则根据一阶极点的性质可知，在去掉圆心z0的某个圆盘内，f（z）=■？渍（z），上式中？渍（z）在圆盘内解析，且？渍（z）的泰勒展式是：？渍（z）=■an（z-z0）n，且a0=？渍（z0）≠0，显然有f（z）的洛朗级数中，■的系数为？渍（z0），因此，Res（f，z0）=■（z-z0）f（z），如果能够求出上述展式，那么由此可得Res（f，z0）=a0。
摘 要：本文从留数的定义出发，研究了五种留数的计算方法，这五种方法包括了本科阶段复变函数教材中所给出的方法，具有较高的参考价值。并给出了三道典型例题，供读者参考。
关键词：留数；复变函数
1003-2851（2013）-09-0256-01
留数理论及其应用，在复变函数理论的发展过程中，曾近起到了巨大的推动作用。不仅仅对复变函数，留数理论对实变函数、物理学、工程学等学科都具有重大意义。留数的计算具有多种方式，在不同场合使用不同的方式进行计算，既可以使计算更加快捷，也可以为进一步研究留数计算的应用打好基础。而一切计算方法，都是从定义出发衍生而来的，所以在研究计算方法前，有必要先明确留数的定义。

一、留数的定义

假设函数f（z）在圆环0

二、留数的计算

（1）根据洛朗展式计算
在0（2）根据一阶极点计算
假设z0是f（z）的一阶极点，则根据一阶极点的性质可知，在去掉圆心z0的某个圆盘内，f（z）=■？渍（z），上式中？渍（z）在圆盘内解析，且？渍（z）的泰勒展式是：？渍（z）=■an（z-z0）n，且a0=？渍（z0）≠0，显然有f（z）的洛朗级数中，■的系数为？渍（z0），因此，Res（f，z0）=■（z-z0）f（z），如果能够求出上述展式，那么由此可得Res（f，z0）=a0。
（3）将函数化为分式计算
如果在上述圆去掉圆心z0剩下的区域中，f（z）=■，其中P（z）以及Q（z）在这圆内解析，P（z0）≠0，且z0是Q（z）的一阶零点，并且z0是Q（z）的唯一一阶零点，则显然有z0是f（z）的一阶极点，于是：Res（f，z0）=■（z-z0）f（z）=■（z-z0）■=■。
（4）根据k阶极点计算
现假设z0是f（z）的k阶极点，那么在去掉圆心z0的一个圆环内，f（z）=■，上式中？渍（z）在此圆盘内解析，并且有？渍（z0）≠0，并且在圆盘内有泰勒展示，则易见Res（f，z0）=ak-1，因此求留数问题就化为了求得泰勒展示的系数。如果泰勒展示能够求？渍（z）得，则易得留数。
（5）根据留数公式计算
显然，ak-1=■=■■，因此可以根据下列公式计算Res（f，z0）：Res（f，z0）=■■■。

三、留数计算实例

（1）函数f（z）=■的留数
由于函数在z=0有三阶极点，且secz在0处的泰勒展开式为secz=1+■z2+■z4+…，因而f（z）=■+■z+■z3+…，故函数在0处的留数Res（f，0）=1。
（2）函数f（z）=■
由于此函数有两个一阶极点？芄i，故此时■=■eiz，因此，Res（f，i）=-■，Res（f，-i）=-■e。
（3）函数f（z）=■
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由于函数在z=i有二阶极点，此时？渍（z）=■，令z=i+t，那么构造函数h（t），令h（t）=■，则在h（t）的泰勒展开式中，t的系数就是f（z）在i处的留数。那么，写出h（t）中每个因子的泰勒展示到t的一次项，则当t<1时，ei（t+i）=e-1（1+it+…），（i+t）-1=-i（1-it）-1=-i（1+it+…），（2i+t）-2=-■（1-■t）-2=-■（1+it+…）。因此，当t<1时，h（t）=■（1+3it+…），于是，Res（f，i）=-■。
四、小结
留数的计算是留数各种应用的基础，只有熟练掌握留数的计算方法，才能通过留数研究复变函数更为深入的内容。事实上，在研究复变函数的过程中，留数起到了承上启下的作用。一方面，将柯西定理和泰勒展式、洛朗展式有效的结合在了一起，使它们具有了实际意义；另一方面，留数在研究解析开拓、调和函数中也有着不可或缺的作用。
其实，留数的计算并不止文中提到的五种方法，而这五种计算方法都与留数的定义紧密相关，只有充分掌握留数的定义，才能从定义出发研究留数的其它算法。
研究留数的计算，是有其实际意义的，通过复变函数及留数计算，可以算出实变函数中一些较难计算的定积分或不定积分，而且利用留数可以将这些问题大大简化。不仅仅在数学方面，留数在工程、物理方面也有其重要作用。所以，掌握好留数的计算方法，对学习数学或与数学有关的学科，具有极大的意义。