浅论数列复合数列之学术

论文导读：限于篇幅，本文选择了一类最典型的数列排列规律——差等差数列进行解析。给出差等差数列的定义，探索出这类数列的通项与前n项和，整理这类题型的应答思路与技巧，对提高成绩很有帮助。定义：若数列{an}中，从第二项起，每一项与它的前一项的差成等差数列，则该数列{an}为差等差数列定理1：首项为a1，差数列首项为d1，差数列的公
关键词：复合数列；差等差数列；通项；前n项和
【中图分类号】G623.5
数列作为定义域为正整数集N （或它的有限子集{1，2，3，…，n}的特殊函数，是刻画离散现象的数学模型。它不仅是高中数学的重要内容，而且是学习高等数学的重要工具。而且由于数列部分结论多、能力要求高、与其他知识易交汇等特点，近几年以其多变的形式和灵活的求法倍受高考关注，并逐步转向多元化、复合型，从而使这类问题成为高考命题的新亮点.。但是，数列排列的方式（规律）是多种多样的，限于篇幅，本文选择了一类最典型的数列排列规律——差等差数列进行解析。给出差等差数列的定义，探索出这类数列的通项与前n项和，整理这类题型的应答思路与技巧，对提高成绩很有帮助。
定义：若数列{an}中，从第二项起，每一项与它的前一项的差成等差数列，则该数列{an}为差等差数列
定理1：首项为a1，差数列首项为d1，差数列的公差为d2的差等差数列的通项公式： an=a1+（n-1）d1+ d2
证明：由差等差数列的定义：
a2-a1=d1 a3-a2=d1+d2 a4-a3=d1+2d2 a5-a4=d！+3d

2.......

an-an-1=d1+（n-2）d2
n个式子相加，得：
an-a1=（n-1）d1+[1+2+3+4+5+...+（n-2）]d2
∴an=a1+（n-1）d1+ d2也可以用数学归纳法证明，略。
由定理1知：等差数列是差等差数列得差数列的公差为0的情形。
定理2：首项为a1，差数列的首项为d1，差数列公差为d2的差等差数列{an}的前n项和公式是Sn=na1+ d1+[ - +n]d2
证明：由定理1：
an=a1+（n-1）d1+ d2
Sn=a1+a2+a3+a4+a5+...+an
=a1+（a1+d1）+（a1+2d1+d2）+（a1+3d1+3d2）+…+[a1+（n-1）d1+ d2]
=na1+[d1+2d1+3d1+...+（n-1）d1]+[d2+3d2+6d2+...+ d2]
=na1+ d1+[ - +n]d2
应用举例：
例1：求数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，...的前100项的和：
分析：易证该数列是差等差数列，首项a1为1，差数列首项d1为3，差数列的公差d2=2，n=100
Sn==na1+ d1+[ - +n]d2
S100=3383500
例2：设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1，n=1，2，3...
（1）求a1，a2
（2）求{an}的通项公式。（2006年全国理科22题）
解：（1）当n=1摘自：学术论文翻译www.7ctime.com
时，x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1，
于是（a1-1）2-a1（a1-1）-a1=0
得a1=
当n=2时，x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2- ，
于是（a2- ）2-a2（a2- ）-a2=0，解得a2=
（2）当n=3时，同理可得，a3= =
当n=4时，同理可得，a4=
猜想：an=
证明：设an=
即：b2-b1=4， b3-b2=6， b4-b3=8，...可知数列{bn}为差等差数列，所以，
b2-b1=4
b3-b2=6
b4—b3=8，
......
bn-bn_1=2n
n个式子相加，得：
bn-b1= =（n-1）（n+2）
∴bn=n2+n=n（n+1）
∴an=
2009年湖北高考题
古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。比如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A. 289 B. 1024 C. 1225 D. 1378
正确答案是C
以差等差复合数列，差等比的复合数列，作为能力型试题，成为近年来数列教学的难点、高考命题的热点。而这些问题综合性强，思维力度大，能力要求高，学生普遍感到困难。所以，教师要引导学生从一般情况探究，形成基本模型与一般结论，帮助学生充分认识这类问题的本质，熟练掌握解决这类数学问题通用的办法，使学生对数学的学习做到“心中有数”，从而顺利突破难关。