简述着力着力数学思维培养例谈旋转法教学

论文导读：角。因此解与旋转相关的问题时常用到全等三角形的知识，而利用旋转过程中的不变量、不变性是解决问题的关键。例1.如图1两个正三角形：△ABD、△ACE绕点A转动；观察在旋转过程中，线段BE和DC的大小有何关系？请证明你的结论，并求出BE和DC所夹锐角的度数。分析：在两个正三角形绕点A旋转的过程中，△ADC和△ABE始终保持全等
摘 要：笔者结合多种几何图形进行拓展，精心设计了一堂层次分明、动感十足的解题方法教学课。-“旋转法”
关键词：数学思维培养；“旋转法”教学；解题方法
1002-7661（2013）04-112-02
数学不仅仅是一种重要的“工具”和“方法”，更重要的是一种思维模式。数学思维的发展是在落实数学基础知识的基础上，通过有效的变式训练或一题多解而得以实现，它是基础知识在更高层次上的抽象和概括，更是数学知识的精髓。
笔者在对北师大版《数学》八年级上册《图形的旋转》一章进行单元复习教学时，力求落实新课标理念，引导学生从运动观点来认识旋转变换，强化对这种变换的本质理解。教学时笔者结合多种几何图形进行拓展，精心设计了一堂层次分明、动感十足的解题方法教学课。“旋转法”不仅让图形动起来，更是在旋转中巧妙地为题设和结论的沟通架起了桥梁，突显了图形变换的数学思想之魅力所在。现将课堂教学归纳如下，以便就教于同仁。
首先，先要辨析两个不同的概念：旋转变换和旋转法。将一个图形绕着某一点旋转一个角度的图形变换叫做旋转， 旋转的三要素为旋转中心、旋转方向和旋转角。“旋转法”是在图形具有公共端点相等线段的特征时，可以把图形的某部分绕相等线段的公共端点，旋转到另一位置的引辅助线的方法，主要用途是把分散的元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件。旋转方法常用于等腰三角形、等边三角形及正方形为背景的几何等图形中。

一、在旋转图形中找全等

由旋转的性质可知旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的摘自：硕士论文答辩技巧www.7ctime.com
连线所组成的夹角等于旋转角。因此解与旋转相关的问题时常用到全等三角形的知识，而利用旋转过程中的不变量、不变性是解决问题的关键。
例1. 如图1两个正三角形：△ABD、△ACE绕点A转动； 观察在旋转过程中，线段BE和DC的大小有何关系？请证明你的结论，并求出BE和DC所夹锐角的度数。
分析：在两个正三角形绕点A旋转的过程中，△ADC和△ABE始终保持全等
解：BE=DC，理由如下：
∵△ABD和△ACE都是正三角形
∴AD=AB， AE=AC， ∠BAD=∠EAC=60°
∴∠BAD+∠DAE =∠EAC+∠DAE
即：∠DAC=∠BAE
在△ADC和△ABE中：
AD=AB， ∠DAC=∠BAE，AE=AC，
∴⊿ADC≌⊿ABE（SAS）
∴BE=DC， ∠ABE=∠ADC
∴∠FBD+∠BDF=∠ABD+∠BDA=120°
∴∠BFD=60° 得证
变式训练：如图2，两个正方形绕点B转动。 仿照上面的例子，写出相关的结论，并证明你的结论。
几何问题变式的妙处在于图形虽然变化，但蕴涵的数学本质却不变。变式的目的是拓展解题的方法，而拓展的目的是为了提升学生的思维能力。

二、在旋转中“合并”条件

通过图形的旋转，把部分图形搬到新的位置，使问题的条件相对集中，从而使条件与待求结论之间的关系明朗化，促使问题解决。
例2、如图3，P是等边三角形ABC内的一个点，PA=2，PB= ，PC=4，求△ABC的边长。
分析：PA、PB、PC比较分散，可利用旋转将PA、PB、PC放在一个三角形中，为此可将△BPA绕B点逆时针方向旋转60°可得△BHC.
解：把△BPA绕B点逆时针方向旋转60°得到△BHC.
∵BP=BH，∠PBH=60°
∴△BPH是等边三角形
∴∠BPH=60°，所以BP=BH=PH
在△HCP中：HC=PA=2，PC=4 ，PH
∵PC2=HP2+HC2
∴△HCP是Rt△， ∴∠CHP=90°
又∵HC=2，PC=4 ∴∠HPC=30°
又∵∠BPH=60° ∴∠CPB=90°
在Rt△BPC中，
BC2=BP2+PC2=（2 ）2+42
=12+16=28
∴ ，即△ABC的边长为 .
例3、如图4，正方形ABCD中，E，F分别在AD，DC上，且∠EBF=45°，BM⊥EF于M，求证：BA=BM
分析：本题求证的结论无法直接用勾股定理或是全等，不妨以B为旋转中心，将∠ABE和∠FBC合在一起，“化散为整”来构造全等三角形。
证明：延长FC到N，使CN=AE，连结BN
∵四边形A论文导读：+∠CBF=45°由⊿ABE≌⊿CBN知BE=BN，∠CBN=∠ABE∴∠CBN+∠CBF=45°，即∠EBF=∠NBF=45°又BE=BN，BF=BF∴⊿EBF≌⊿NBF（SAS）∴BM=BC∴BM=BA得证例4、如图5，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=DC求证：BD2=AB2+BC2分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，但注意到BD、AB、BC三条
BCD是正方形
∴AB=AC，∠BAC=90°
∵∠EBF=45°∴∠ABE+∠CBF=45°
由⊿ABE≌⊿CBN知BE=BN，∠CBN=∠ABE
∴∠CBN+∠CBF=45°，即∠EBF=∠NBF=45°
又BE=BN，BF=BF
∴ ⊿EBF≌⊿NBF（SAS） ∴BM=BC
∴ BM=BA 得证
例

4、如图5，在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，且AD=DC

求证：BD2=AB2+BC2
分析：从所证的结论来看，令人联想到勾股定理，
但注意到BD、AB、BC三条线段不在同一个三角形中，由于AD=DC ，我们可以考虑以D为旋转中心，将△ADB旋转到和DC相邻的位置，构造一个直角三角形，问题便迎刃而解。
证明：可将△ADB绕D点按顺时针方向旋转60°可得△DCB’
∴ ⊿ADB≌⊿CDB’
∴ DB=DB’， AB=CB’ 且 ∠BDB’=60°
∴ △BDB’是正三角形 即BD=B’D=BB’
在四边形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°
∴∠A+∠DCB=270°
∴∠BCB’=360°-270°=90°
在Rt⊿BCB’中，有BB’ 2= CB’2+BC2
即：BD2=AB2+BC2 得证
以上几例都巧妙地运用了旋转的概念及性质，借助等边、或旋转一角，把图中的一部分图形或相关线段、相关角转移到同一个三角形中，将原本松散的条件集中起来，为题设和结论的沟通架起了桥梁。课堂上同学们在老师的引导下，时而冥思苦想，时而茅塞顿开，时而激烈争论，时而专注听讲，在感受了“旋转法”在解一类问题带来的便利之后，无不为数学思维的魅力所折服。常言道“授之以鱼不如授之以渔”，解题方法的教学始终是我们数学课堂的重中之重，更是数学复习课设计的核心！图形动起来了，学生解决问题的思路和灵感也如泉水般汩汩而出，思维的灵活性和创新性也得到了有效地培养。
课后拓展训练

1.P为正方形ABCD内一点，且PA：PB：PC=1：2：3，求∠APB的度数.

（答案：∠APB=135°）
2、点 O是等边三角形ABC内一点，已知：∠AOB=115°，∠BOC=125°，则以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角度数是多少？
（答案：以线段OA、OB、OC为边构成三角形的各角的度数分别为55°、65°、60°）