简论阴影运用化归思想求阴影部分面积

论文导读：平行线间距离处处相等。同底等高的三角形面积相等等相关性质进行化归。题中把一个不规则的图形化归为一个圆心角为60°的扇形求解。配套练习4.已知正方形ABCD的边长为2，点E在AB上，四边形EFGB也为正方形，设三角形AFC的面积为S，则S的值为多少？方法：运用平行线间距离处处相等，同底等高的三角形面积相等等相关性质使整
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化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，将复杂问题化为简单问题；将难解的问题化为容易求解的问题；将未解决的问题化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。

一、运用旋转化归将不规则、非特殊图形化归为规则的、特殊的图形求解

例1.如下图，是一块直角三角形的土地，现在要在这块土地上挖一个正方形的鱼塘AEDF，若已知剩余的两直角三角形两条
斜边长分别为20 cm和30 cm，问剩余的两直角三角形土地面积
和是多少？
常规法：
设正方形AEDF边长为x，如图，利用勾股定理可得x的值，进而求出阴影面积。这个方法显然计算上比较繁琐。
那能否把两个直角三角形化归为一个三角形？如何转化？把三角形DCF以点D为圆心旋转，使DF与DE重合，点C的对应点为点C′，阴影部分面积转化为三角形BDC′的面积。
方法提炼一：通过旋转变换将两个直角三角形化归为一个直角三角形解决实际问题。
配套练习

1.在四边形ABCD中，AD=CD，DE⊥AB于E，∠ADC=

∠ABC=90°。若四边形ABCD的面积是36，求DE的长。
方法一：把三角形DEA以点D为圆心顺时针旋转90°，使DA
与DC重合，并证明BCF三点共线。
方法二：延长BC，并过点D作BC的垂线交于点F，并证明三角形AED和三角形CDF全等。

二、运用平移化归，将不规则、非特殊图形化归为规则的、特殊的图形求解

例2.如图，大半圆O与小半圆O1相切于点C，大半圆的弦AB与小半圆相切于E，且AB∥CD，AB=4cm，求阴影部分的面积。
方法提炼二：图中阴影部分面积与半圆O1位置无关，通过平移变换得到一个半圆环求解。
配套练习3.如图，在边长分别为a和b的矩形草地内修一条十字形的路，设路宽均为x，则剩余部分草地的面积是多少？
方法：都通过几次平移把阴影部分面积化归成一个大矩形的面积。

三、作平行线，将不规则、非特殊图形化归为规则的、特殊的图形求解

例3.如图，A是半径为2的圆O外一点，OA=4，AB是圆O的切线，点B为切点，弦BC与OA平行，连结AC，则阴影部分面积为多少？
方法提炼三：运用平行线间距离处处相等。同底等高的三角形面积相等等相关性质进行化归。题中把一个不规则的图形化归为一个圆心角为60°的扇形求解。
配套练习4.已知正方形ABCD的边长为2，点E在AB上，四边形EFGB也为正方形，设三角形AFC的面积为S，则S的值为
多少？
方法：运用平行线间距离处处相等，同底等高的三角形面积相等等相关性质使整块阴影面积化归为直角三角形ADC的面积，从中也可发现将三角形AFH可化归为三角形HDC。

四、利用分解、组合等手段，化归为规则的、特殊的图形求解

例4.如图，E、F分别为长方形ABCD边AD、BC上的点，且三角形ABG、三角形DCH的面积分别为1

5、20，则阴影部分的面积是多少？

方法提炼四：直接求解难度较大，通过对图形特征的观察，利用同底等高三角形面积相等，将四边形GFHE的面积化归为两个已知三角形的面积之和。
运用化归思想将不规则、非特殊图形，通过旋转、平移、作平行线以及分解、组合等手段，化归为规则的、特殊的图形求解，使解题达到事半功倍的效果。
（作者单位 浙江省舟山市南海实验学校）