探讨高考高考中选做题——极坐标与参数方程

论文导读：
摘要：通过对2009至2012年高考极坐标与参数方程的试题分析，明确了试题考查的知识点和常见题型。
关键词：高考；极坐标；参数方程
2009年高考是辽宁省进行新课改后迎来的第一个高考，至今已经历时四年。由于新课程改革，教材增加了部分新内容，所以高考题型也增加了22（平面几何初步），23（极坐标与参数方程），24（不等式选讲）三道选做题，考生要从中三选一。因此，部分高中选择主讲《4-4极坐标与参数方程》。坐标系是解析几何的基础，为了便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系就是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用极坐标系可以使建立的方程更加简单。参数方程是以参变量为来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表现形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更灵活。参数方程可以帮助学生用更灵活的办法解决问题。那么，近几年高考中有关“极坐标与参数方程”的问题都考查了那些知识点？以那些形式出现的呢？

一、极坐标系与直角坐标系的互化

在求解有关极坐标问题时，可以转化为相对熟悉的直角坐标方程进行求解。若最终结果要用极坐标表示，可以将直角坐标再次化为极坐标。例1：（2009年辽宁省高考理科23题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ-π3=1，点M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点.（1）写出C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；（2）设MN的中点为点P，求直线OP的极坐标方程.解：（1）由ρcosθ-π3=1得ρ（12cosθ+32sinθ）=1。从而C的直角坐标方程为12x+32y=1，即x+3y=2。θ=0时，ρ=2，所以M坐标为（2，0），θ=π2时，ρ=233，所以N坐标为（0，233）。（2）M的直角坐标为（2，0），N的直角坐标为（0，233），所以中点P的直角坐标为（1，33），则点P的极坐标为（233，π6）所以直线OP的极坐标方程θ=π6，ρ∈（-∞，+∞）。点评：本题考查点是极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.例2：在极坐标系中，已知点O（0，0），P（32，π4），求以OP为直径的圆的极坐标方程。解： 设点Q（ρ，θ）为以OP为直径的圆上任意一点， 在RtΔOQP中，ρ=32cos（θ-π4）， 故所求圆的极坐标方程为ρ=32cos（θ-π4）。可以看到，利用极坐标系解决本题非常简洁。可是，我校学生的学习基础和理解程度，大部分学生不能想到或是理解这种方法。那么，我们看看下面的这种解法。解法二：点O的直角坐标是（0，0），点P的直角坐标是（3，3），所以线段OP的中点C的直角坐标是（32，32），线段OC=（32）2+（32）2=322。故以OP为直径的圆的直角坐标方程是（x-32）2+（y-32）2=（322）2，即x2+y2-3x-3y=0，化为极坐标方程是ρ=3cosθ+3sinθ，即所求圆的极坐标方程为ρ=32cos（θ-π4）。通过解法的对比，学生可以比较出两种解题方法哪个更为优化，哪个更好理解，从而选择适当的方法进行解题。

二、参数方程与普通方程的互化及简单应用

将参数方程中的参数消去后可以得到普通方程。消去参数常用的方法有代入法，有时也利用代数或三角函数中的恒等式消去参数。需要注意的是，在消去参数的过程的等价性，即坐标的变化范围不能扩大或缩小。例3：（2010年辽宁省高考理科23题）已知P为半圆C：x=cosθy=sinθ ， （θ为参数，0≤θ≤π）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为π3（1）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；（2）求直线AM的参数方程.解：（1）由已论文导读：2=2cos（α+π6）+22因此，当cos（α+π6）=-1时，d取最小值，最小值为2。点评：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化，椭圆的参数方程等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化的思想。

(二)直线参数方程t的几何意义例8：（2010年福建高考21上一页123下一页

知，点M的极角为π3，且M的极径为π3，故点M的极坐标（π3，π3）。（2）点M的直角坐标为（π6，3π6）， A（1，0）故直线AM的参数方程为x=1+（π6-1）ty=3π6t （t为参数）点评：本题考查点是极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。例4：（2011年辽宁省高考理科23题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=cosφy=sinφ  （φ为参数），曲线C2的参数方程为x=acosφy=bsinφ  （a>b>0，φ为参数）。在以O为极点，x轴的正半轴为源于：本科毕业论文www.7ctime.com
极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1、C2各有一个交点.当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合.（1）分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；（2）设当α=π4时，l与C1、C2的交点分别为A1、B1；当α=-π4时，l与C1、C2的交点分别为A2、B2，求四边形A1A2B2B1的面积.解：（1）曲线C1的普通方程为x2+y2=1，故曲线C1是圆心在原点，半径为1的圆；曲线C2的普通方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），故曲线C2是焦点在x轴的椭圆；由题意知a=3，b=1。（2）当α=π4时，A1（22，22）、B1（255，255）；同理，当α=-π4时，A2（22，-22）、B2（255，-255）；故等腰梯形A1A2B2B1的面积为310。点评：本题考查点是参数方程和普通方程的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。例5：（2012年辽宁省高考理科23题）在直角坐标系xOy中，圆C1： x2+y2=4，圆C2：（x-2）2+y2=4（1）在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1、C2的极坐标方程，并求出圆C1、C2的交点坐标（用极坐标表示）；（2）求圆C1与C2的公共弦的参数方程.点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程的求法，极坐标与直角坐标的互化，及学生的计算能力。

三、利用参数方程（或者极坐标）解决直线与圆（椭圆、双曲线）的位置关系问题

摘自：论文查重站www.7ctime.com
（一）对于圆、椭圆及双曲线，它们的参数方程与三角函数有关，通常用来研究对应曲线上与点有关的最值问题。这也是参数方程的主要应用之一。例6：（2011年福建高考21题（2））在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为x=3cosαy=sinα （α为参数）.（1）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，π2），判断点P与直线l的位置关系；（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.解：（1）把极坐标系下的点P（4，π2）化为直角坐标，得P（0，4）。因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程x-y+4=0，所以点P在直线l上。（2）因为点Q在曲线C上，故可以设点Q的坐标为（3cosα，sinα）， 从而点Q到直线l的距离为 d=3cosα-sinα+42=2cos（α+π6）+42=2cos（α+π6）+22 因此，当cos（α+π6）=-1时，d取最小值，最小值为2。点评：本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化，椭圆的参数方程等基础知识，考查运算能力，考查化归与转化的思想。

(二)直线参数方程t的几何意义例8：（2010年福建高考21论文导读：

题（2））在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x=3-22ty=5+22t （t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=25sinθ。（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B。若点P的坐标为（3，5），求|PA|+|PB|。解：（1）由ρ=25sinθ得x2+y2-25y=0，即x2+（y-5）2=5.（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（3-22t）2+（22t）2=5，即t2-32t+4=0，由于Δ=（32）2-4×4=2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=32t1t2=4 ，又直线l过点P（3，5），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32。点评：本小题主要考查直线的参数方程及参数t的几何意义（极大化简了计算过程）、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。本题也可以化为直线的普通方程，然后求出点A、B，继而求出|PA|+|PB|，但计算量较大。

四、在高考中经常涉及的考点

考点1：理解参数方程是以参变题量为表示曲线上的点的坐标的方程是同一曲线在同一坐标系下的又一种表现形式，掌握参数方程和普通的互化。考点2：理解极坐标方程是以极径、极角为变题量的方程，掌握极点在原点，极轴在x轴正半轴上时，极坐标方程和直角坐标方程可以互化。考点3：掌握根据所给曲线的参数方程、极坐标方程分别化为普通方程和直角坐标方程，从而判断曲线类型的方法.考点4：掌握根据曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标的方法.考点5：掌握过定点M0（x0，y0），倾斜角为α的直线参数方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα （t为参数），此时t有几何意义，即t=MM0.虽然在选做题的三道题中，极坐标与参数方程相对简单，但随着选择此题的考生逐渐增多，此考题难度也逐年增加。但是只要明确考纲，理解并掌握以上知识点，就可以以不变应万变，成功地求解该题。
参考文献：
2009年各省高考数学理科试题
2010年各省高考数学理科试题
[3]2011年各省高考数学理科试题
[4]2012年各省高考数学理科试题