探究探析中职数学数形结合教学策略探析

论文导读：离公式，可化为+=+，令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为在x轴上求一点P，使│PA│+│PB│有最小值。如图2所示，由于AB在x轴同侧，故取A关于x轴的对称点C（0，-1），故（│PA│+│PB│）min=│CB│==又如例题“已知点P（x，y）在线性区域x？莛0y？莛03x+4y？燮12内，求（1）U=的最小值；（2）V=的值域。”利用数形结合的思想，则由线性
摘 要：数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征、寻找解决问题的一种数学思想。本文结合具体事例，论述了在中职数学教学中应用数形结合的思想方法解决问题的直观性、快捷性、奇异性和突破性。
关键词：数学；数形结合；教学方法
数形结合的思想，简而言之即对于所研究的代数问题，有时可研究其对应的几何性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）。数形结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数学特征、寻找解决问题的一种数学思想。
通常情况下，在应用数形结合思想方法解决问题时，往往偏重于“形”对“数”的作用，也就是经常地利用图形的直观性来解决某些数学问题。数形结合以解题的形象、直观、快捷著称，所以倍受师生的青睐。应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决。运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。本文结合具体实例阐述了数形结合教学的优越性。
一、直观性
在中职数学中，若要解决“判断0.32，log20.3，20.3三个数间的大小顺序”这类型的题目，我们要充分运用函数图形的特点，将问题变得非常具有直观性。这三个数我们可以看成三个函数：y1=x2，y2=log2x，y3=2x。在x=0.3时，所对应的函数值在同一坐标系内作出这三个函数的图像（如图1所示），从图像可以直观地看出当x=0.3时，所对应的三个点P1，P2，P3的位置，从而可得出结论： 20.3>0.32>log20.3。
二、快捷性
在计算“求函数y= + 的最小值”这类型的题目时，教师可教学生先考察式子特点。若从代数的角度摘自：本科毕业论文结论www.7ctime.com
求解，学生的思维会受阻，这时利用数形结合为转化手段，引导学生探索函数背后的几何背景，巧用两点间距离公式，可化为 + = + ，令A（0，1），B（2，2），P（x，0），则问题转化为在x轴上求一点P，使│PA│+ │PB│有最小值。如图2所示，由于AB在x轴同侧，故取A关于x轴的对称点C（0，-1），故（│PA│+│PB│）min=│CB│= =
又如例题“已知点P（x，y）在线性区域x？莛0y？莛03x+4y？燮12内，求（1）U= 的最小值；（2）V= 的值域。”利用数形结合的思想，则由线性规划可知P（x，y）在Rt△OAB内（包括边界），Umin实质上是M（4，3）点到直线AB的距离 ；V的值域实质上是直线PM斜率的取值范围[0，+∞），如图3所示。
三、奇异性
在“解不等式│cosx│>│sinx│，x∈[0，2π]”此类题中，学生通常觉得这类题目的问题比较烦琐，但教师若能引导学生运用函数的特点，则问题将变得非常容易，这充分体现了数形结合的奇异性。我们可将不等式的两边表达式看成两个函数y1=│cosx│，y2=│sinx│，在[0，2π]上作出他们的图像（见图4），得到四个不同的交点，横坐标分别为： ， ， ， ，而当x在区间（0， ），（ ， ），（ ，2π）内时，y1=│cosx│的图像都在y2=│sinx│的图像上方。所以可得到原不等式的解集为：{x│0又如解不等式sinx>- ，因为正弦线在单位圆中是用方向平行于y轴的有向线段来表示的，所以，我们可先在y轴上取一点P，使OP=- ，恰好表示x角的正弦线simx=- ，过点P作x轴的平行线交单位圆于点P1P2，在- ， 内，OP1，OP2分别对应于角 ，- ，这时所对应的正弦值恰好为- 。而要求sinx> - 的解集，只需将弦P1P2向上平移，使OP1，OP2重合，也即点P向上平移至与单位圆交点处，这样OP1，OP2所扫过的范围即为所求的角（图5），从而，顺利得出原不等式的解集为
x│2kπ- 四、突破性
像“设方程│x2-1│=k+1，试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况”这种题目，是我们经常能见到的一种题目类型，要解方程是不可能的。但题目只要我们判断方程解的个数，此时若能突破传统的解方程思想，转而利用图形的观点来处理问题，那么这类问题的解决将得变轻而易举。利用数形结合的思想，可把这个问题转化为确定函数y1=│x2-1│与y2=k+1图像交点个数的情况，因函数y2=k+1表示平行于x轴的所有直线，从图像（如图6所示）可以直观看出：
①当k<-1时， y1与y2没有交点，这时原方程无解；
②当k=-1时， y1与y2有两个交点，原方程有两个不同的解；
③当-1④当k=0时， y1与y2有三个交点，原方程不同解的个数有三个；
⑤当k>0时，y1与y2有两个交点，原方程不同解的个数有两个。
比如，解方程3x=2-x，由方程两边的表达式我们可以联想起函数y=3x与y=2-x，若作出这两个函数的图像（图7），这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为x≈0.4.
以上四个方面是数形结合的主要优越性，在中职数学教学中，教师要多引导学生注意发挥图象的功能，这样有助于他们开拓思路，从而顺利解决问题。
（作者单位：南雄市中等职业学校）
参考文献：
. 普通高中数学课程标准[S].北京：人民教育出版社，2010.
叶立军. 新课程中学数学实用教学80法[M].广州：广东教育出版社，2004.
[3]薛金星.怎样解题：高中数学解题方法与技巧[M].北京：北京出版集团公司，北京教育出版社，2011.
责任编辑 陈春阳