研讨离散一类离散多时滞系统稳定性和成本制约
最后更新时间：2024-04-16
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论文导读：TDT0使得G+εDDT+ε—1ETE<0。3系统稳定性分析和成本控制记=（A1，…，AL），{Φi}=diag（Φ1，…，ΦL）。定理1假设存在矩阵P1>0，Wj>0（j=1，2，…，L），P2，P3，K，使得下面矩阵不等式成立ΩP2—PT3AP1+P3+PT3—TP2—TP3—
摘要：给出一类不确定范数有界离散多时滞系统，采用Lyapunov方法，结合线性矩阵不等式（LMI）技术，论证鲁棒稳定性的一个判据，设计出闭环系统的状态反馈鲁棒控制器，进一步给出可保成本的数学结构。最后利用matlab软件求解LMI，仿真案例验证了该方法的正确性和有效性。
关键词：离散系统；多时滞；鲁棒稳定；线性矩阵不等式（LMI）
：A
Stability Analysis and Guaranteed Cost Control of Discretetime Systems with Multiple Time Delays
LI Yang
（College of Sciences， Liaoning Shihua University， Fushun113001，China）
Abstract：Focusing on a class of normbounded discretetime uncertain systems with multiple delay， by using Lyapunov method and linear matrix inequalities （LMI），this paper presents new sufficient conditions to guarantee the robust stability of the system， and then designs a state 源于：论文格式标准www.7ctime.com
feedback robust controller for the closed loop system. This article further proposed the structure of the guaranteed cost .In the end， by using matlab software， a simulation case is provided to illustrate the correctness and the effectiveness of the proposed theoretical results.
Key words：discretetime systems；multiple delay；robust stability；linear matrix inequalities （LMI）
1引言
实际控制系统中产生的不确定性和时滞将导致系统的稳定性下降，近十年，不确定时滞系统鲁棒控制研究倍受关注[1—3]，不确定离散多时滞系统的稳定性研究和成本界取得新的成果[4—6]。使用线性矩阵不等式（LMI）成为研究不确定系统的有效技术，文献[7]获得了两类范数有界不确定PWA系统稳定性标准。然而，基于LMI的不确定多时滞离散系统稳定性和可保成本的研究较少。最近，文献[8]解决了一类带有单输入输出时滞不确定系统的保成本控制，本文推广了这一系统，获得了多时滞离散系统稳定性和可保成本的LMI方法，进行算例分析。
2问题描述和引理
x（k+1）=（A+ΔA）x（k）+∑Li=1（Ai+ΔAi）x（k—τi）+（B+ΔB）u（k） （1）
这里x（k）∈Rn是状态向量，τi是满足0<τi≤τ*的时滞，A，Ai，B是已知矩阵，ΔA，ΔAi，ΔB表示时变不确定的实值矩阵，其形式为（ΔA，ΔAi，ΔB）=DF（E，Ei，Eb），F为满足FTF≤I的范数有界时变矩阵。各矩阵均维数适当。
与系统（1）对应的二次成本函数如下：
J=∑∞k=1[xT（k）Qx（k）+uT（k）Ru（k）] （2）
其中Q>0，R>0，为已知矩阵。
目的是设计一个无记忆状态反馈控制器u（k）=Kx（k） ，使得系统（1）的闭环系统
x（k+1）=x（k）+∑Li=1ix（k—τi） （3）
渐进稳定，进而确定成本函数的较小上界。这里，=A+BK+ΔA+ΔBK。
针对系统（1），选取Lyapunov函数为
V（x（k））=xT（k）P1x（k）+
∑Lj=1∑τji=1xT（k—i）Wjx（k—i） （4）
其中 P1>0，Wj>0。
计算技术与自动化2012年9月
第31卷第3期李阳：一类离散多时滞系统稳定性分析和成本控制
引理[8]给定矩阵D，E 和维数适当的对称矩阵 G ，对满足FTF≤I的矩阵F，不等式G+DFE+ETFTDT0 使得G+εDDT+ε—1ETE<0。
3系统稳定性分析和成本控制
记[Ai]=（A1，…，AL），{Φi}=diag（Φ1，…，ΦL）。
定理1假设存在矩阵P1>0，Wj>0（j=1，2，…，L），P2，P3，K，使得下面矩阵不等式成立
ΩP2—PT3AP1+P3+PT3—[i]TP2—[i]TP3—{Wj}<0（5）其中Ω=∑Lj=1Wj+Q+KTRK—P1—TP2—PT2。则系统（3）是渐进稳定的，且可保成本J*=V（x（0））=xT（0）P1x（0）+∑Lj=1∑τji=1xT（—i）Wjx（—i）。
证明：记y（k）=x（k+1），η（k）=（xT（k），yT（k），[yT（k—τi—1）]）T，则（3）式可以表示为（，—I，[i]）η（k）=0。那么， 由（4）定义的Lyapunov函数V（x（k））沿系统（3）任意轨线的向前差分为
ΔV（k）=V（k+1）—V（k）=xT（k+1）P1x（k+
1）—xT（k）P1x（k）+xT（k）∑Lj=1Wjx（k）
—∑Lj=1xT（k—τj）Wj（k—τj）（6）
将（6）式中第二项改写为
xT（k）P1x（k）=
2ηT（k）I2T00—I00论文导读：
[i]T0P100P2P3000Iη（k）
因此，
ΔV（k）=
ηT（k）Ω—Q—KTRKP2—PT3AP1+P3+PT3—[i]TP2—[i]TP3—{Wj}η（k），
结合（3）式，可得
ΔV（k）<—xT（k）（Q+KTRK）x（k）≤
—λmin （Q+KTRK）‖x‖2。（7）
根据Lyapunov稳定理论，系统（3）是渐进稳定的。而且，由（7）式马上得到
xT（k）（Q+KTRK）x（k）<—ΔV（k）（8）
将（8）式两边从0到∞求和，结合系统稳定性，就有
J≤V（x（0））=xT（0）P1x（0）+
∑Lj=1∑τji=1xT（—i）Wjx（—i）。（9）
证明完毕。
以下假设系统（1）的初值满足x（—i）=Uvi，vTivi≤1，i=0，1，…，τ.其中U为给定矩阵.那么，（9）式意味着
J≤λmax UTP1U+∑Lj=1（τjλmax （UTWjU）） （10）
由于不确定矩阵的存在，（5）式中存在如[i]TP3，KTRK等较多非线性项，不适合用matlab软件中的LMI工具箱求解。现继续给出（5）式的严格LMI转化形式。
定理2假设存在矩阵Q1>0，i>0，Q2，Q3，K以及实数ε>0，使得下面的线性矩阵不等式（LMI）成立
—Q1*****Q2—AQ1—BYQ3+QT3+εDDT******0—[Aii]T—{i}*****[Q1]T00—{i}****Q1000—Q—1***Y0000—**Q2Q30000—Q1*EQ1+EbY0EiWi0000—εI<0（11）
则系统（3）渐进稳定，且可保成本为J=τ∑Lj=1λmax （UTWjU）+λmax （UTQ—11U）。保成本控制律为u（k）=YQ—11。
证明 不等式（5）改写为
Ω0000P1000—{Wi}—
I2T00—I00[i]T0P100P2P30000+（·）T<0（12）
其中Ω0=∑Li=1Wi+Q+KTRK，假设P=P10P2P3，P—1=Q10Q2Q3，将（12）式两边后、前分别乘以Q100Q2Q3000I及其转置，得到
Q1Ω0Q1+QT2P1Q2**QT1Q2QT1Q3*00—{Wi}—
Q1**Q1—Q2—Q3—QT3*0[i]T0<0（13）
设i=Q—1i，Y=KQ摘自：毕业论文小结www.7ctime.com
1，=R—1，同时注意到Q1=P—11，Q3=P—13，应用Schur补，（13）式等价于：
—Q1******Q2—Q1Q3+QT3*****0—[ii]T—{i}****[Q1]T00—{i}***Q1000—Q—1**Y0000—*Q2Q30000—Q1<0 （14）
根据系统（1）和（3），考虑，i不确定性，经简单计算，（14）式成为
—Q1******Q2—AQ1—BYQ3+QT3*****0—[Aii]T—{i}****[Q1]T00—{i}***Q1000—Q—1**Y0000—*Q2Q30000—Q1<0
+0D00000FEQ1+EbY0[EiWi]0000+（·）T<0 （15）
由Schur补，可知（11）式成立。结合（10），成本函数为
J≤λmax UTQ—11U+τ∑Lj=1λmax （UT—1jU）（16）
证明完毕。
推论假设LMI（11）是可行的，则系统（1）的可保成本（16）为如下优化问题的最优解：
min [α+τ∑Ljβj]（17）
s.t.—αIU—Q1<0，—βjIU—j<0（j=1，2，…，L）.
注：可以使用LMI工具箱方便的求解优化问题（17）.
4算例
考虑如下不确定多时滞系统：
A=0.70—0.50.050.8000.30.6，D=0.100.2，
B=0.300.6，E=0.200.3，
E1=（0.200.1），E2=（00.10.2）， Eb=0.4，R=0.2，L=2，τ*=2.
A1=—0.2000—0.10.100—0.2，
A2=0.20.1—0.10—0.10.10.10—0.2，
U=
ε=0.3036 Y=[—0.0222 —0.0131 —0.0651]，
Q1=0.1215—0.00820.0671—0.00820.02330.00560.06710.00560.0652，
反馈控制器增益为：
K=（0.96010.6992—
S2=0.7234—0.28640.0328—0.28640.37820.13730.03280.13730.2009
此时，求解优化问题（17）得到
α=178.6342，β1=43.5739，β2=3
本J*=328.5728源于：毕业论文理工www.7ctime.com
。
5结论
本文利用Lyapunov方法，不同于以往单时滞的情形，对一类范数有界不确定离散多时滞系统，进行了渐进稳定性分析，获得了闭环系统取得可保成本的严格LMI充分条件。设计了时滞无关状态反馈控制器，通过利用凸优化软件LMI工具箱，很方便的求解LMI，获得可保成本。仿真算例表明该方法的有效性。
参考文献
李琴，张庆灵，安韦春.不确定离散广义系统的时滞相关非脆弱无源控制[J].控制与决策，2007，22（8）：907—911.
张伟，时宝，盖明久.不确定离散时滞广义系统的参数依赖稳定条件[J].自动化技术与应用，2008，27（10）：4—7.
[3]Zhang， Tang. Output feedback H∞control for uncertain piecewise linear systems[J].Journal of Dynamical and Control Systems，2008，l4（1）：121—144.
[4]高会军，王常虹.不确定离散多时滞系统的时滞相关鲁棒镇定[J].自动化学报，2004，30（5）：789—795.
[5]张文安，俞立，张贵军.离散多时滞系统的时滞相关鲁棒稳定性分析[J].控制理论与应用，2006，23（4）：636—639.
[6]吴江江，余世明.一类不确定多时滞离散系统的稳定性分析与鲁棒控制器设计[J]，自动化技术与应用，2010，29（1）：1—3.
[7] Zhiyuan LIU， Yahui GAO， Hong CHEN. LMIbased robust control of uncertain discretetime piecewise affine systems[J]， Control Theory Appl， 2010 ，8（4）：496—502.
[8]Z.Q.Zuo. Y.J.Wang. Novel optimal guaranteed cost control of uncertain discrete systems with both state and input delays[J]. Journal of Optimization Theory and Applications， 2008，139：159—170.
摘要：给出一类不确定范数有界离散多时滞系统，采用Lyapunov方法，结合线性矩阵不等式（LMI）技术，论证鲁棒稳定性的一个判据，设计出闭环系统的状态反馈鲁棒控制器，进一步给出可保成本的数学结构。最后利用matlab软件求解LMI，仿真案例验证了该方法的正确性和有效性。
关键词：离散系统；多时滞；鲁棒稳定；线性矩阵不等式（LMI）
：A
Stability Analysis and Guaranteed Cost Control of Discretetime Systems with Multiple Time Delays
LI Yang
（College of Sciences， Liaoning Shihua University， Fushun113001，China）
Abstract：Focusing on a class of normbounded discretetime uncertain systems with multiple delay， by using Lyapunov method and linear matrix inequalities （LMI），this paper presents new sufficient conditions to guarantee the robust stability of the system， and then designs a state 源于：论文格式标准www.7ctime.com
feedback robust controller for the closed loop system. This article further proposed the structure of the guaranteed cost .In the end， by using matlab software， a simulation case is provided to illustrate the correctness and the effectiveness of the proposed theoretical results.
Key words：discretetime systems；multiple delay；robust stability；linear matrix inequalities （LMI）
1引言
实际控制系统中产生的不确定性和时滞将导致系统的稳定性下降，近十年，不确定时滞系统鲁棒控制研究倍受关注[1—3]，不确定离散多时滞系统的稳定性研究和成本界取得新的成果[4—6]。使用线性矩阵不等式（LMI）成为研究不确定系统的有效技术，文献[7]获得了两类范数有界不确定PWA系统稳定性标准。然而，基于LMI的不确定多时滞离散系统稳定性和可保成本的研究较少。最近，文献[8]解决了一类带有单输入输出时滞不确定系统的保成本控制，本文推广了这一系统，获得了多时滞离散系统稳定性和可保成本的LMI方法，进行算例分析。
2问题描述和引理
2.1 问题描述
考虑如下不确定多时滞离散系统：x（k+1）=（A+ΔA）x（k）+∑Li=1（Ai+ΔAi）x（k—τi）+（B+ΔB）u（k） （1）
这里x（k）∈Rn是状态向量，τi是满足0<τi≤τ*的时滞，A，Ai，B是已知矩阵，ΔA，ΔAi，ΔB表示时变不确定的实值矩阵，其形式为（ΔA，ΔAi，ΔB）=DF（E，Ei，Eb），F为满足FTF≤I的范数有界时变矩阵。各矩阵均维数适当。
与系统（1）对应的二次成本函数如下：
J=∑∞k=1[xT（k）Qx（k）+uT（k）Ru（k）] （2）
其中Q>0，R>0，为已知矩阵。
目的是设计一个无记忆状态反馈控制器u（k）=Kx（k） ，使得系统（1）的闭环系统
x（k+1）=x（k）+∑Li=1ix（k—τi） （3）
渐进稳定，进而确定成本函数的较小上界。这里，=A+BK+ΔA+ΔBK。
针对系统（1），选取Lyapunov函数为
V（x（k））=xT（k）P1x（k）+
∑Lj=1∑τji=1xT（k—i）Wjx（k—i） （4）
其中 P1>0，Wj>0。
计算技术与自动化2012年9月
第31卷第3期李阳：一类离散多时滞系统稳定性分析和成本控制
2.2定义和引理
定义对系统（1）和成本函数（2），如果存在状态反馈控制器u（k）和正数J，使得闭环系统（3） 渐进稳定，且J≤J，则称J为可保成本，u（k）为保成本控制律。引理[8]给定矩阵D，E 和维数适当的对称矩阵 G ，对满足FTF≤I的矩阵F，不等式G+DFE+ETFTDT0 使得G+εDDT+ε—1ETE<0。
3系统稳定性分析和成本控制
记[Ai]=（A1，…，AL），{Φi}=diag（Φ1，…，ΦL）。
定理1假设存在矩阵P1>0，Wj>0（j=1，2，…，L），P2，P3，K，使得下面矩阵不等式成立
ΩP2—PT3AP1+P3+PT3—[i]TP2—[i]TP3—{Wj}<0（5）其中Ω=∑Lj=1Wj+Q+KTRK—P1—TP2—PT2。则系统（3）是渐进稳定的，且可保成本J*=V（x（0））=xT（0）P1x（0）+∑Lj=1∑τji=1xT（—i）Wjx（—i）。
证明：记y（k）=x（k+1），η（k）=（xT（k），yT（k），[yT（k—τi—1）]）T，则（3）式可以表示为（，—I，[i]）η（k）=0。那么， 由（4）定义的Lyapunov函数V（x（k））沿系统（3）任意轨线的向前差分为
ΔV（k）=V（k+1）—V（k）=xT（k+1）P1x（k+
1）—xT（k）P1x（k）+xT（k）∑Lj=1Wjx（k）
—∑Lj=1xT（k—τj）Wj（k—τj）（6）
将（6）式中第二项改写为
xT（k）P1x（k）=
2ηT（k）I2T00—I00论文导读：
[i]T0P100P2P3000Iη（k）
因此，
ΔV（k）=
ηT（k）Ω—Q—KTRKP2—PT3AP1+P3+PT3—[i]TP2—[i]TP3—{Wj}η（k），
结合（3）式，可得
ΔV（k）<—xT（k）（Q+KTRK）x（k）≤
—λmin （Q+KTRK）‖x‖2。（7）
根据Lyapunov稳定理论，系统（3）是渐进稳定的。而且，由（7）式马上得到
xT（k）（Q+KTRK）x（k）<—ΔV（k）（8）
将（8）式两边从0到∞求和，结合系统稳定性，就有
J≤V（x（0））=xT（0）P1x（0）+
∑Lj=1∑τji=1xT（—i）Wjx（—i）。（9）
证明完毕。
以下假设系统（1）的初值满足x（—i）=Uvi，vTivi≤1，i=0，1，…，τ.其中U为给定矩阵.那么，（9）式意味着
J≤λmax UTP1U+∑Lj=1（τjλmax （UTWjU）） （10）
由于不确定矩阵的存在，（5）式中存在如[i]TP3，KTRK等较多非线性项，不适合用matlab软件中的LMI工具箱求解。现继续给出（5）式的严格LMI转化形式。
定理2假设存在矩阵Q1>0，i>0，Q2，Q3，K以及实数ε>0，使得下面的线性矩阵不等式（LMI）成立
—Q1*****Q2—AQ1—BYQ3+QT3+εDDT******0—[Aii]T—{i}*****[Q1]T00—{i}****Q1000—Q—1***Y0000—**Q2Q30000—Q1*EQ1+EbY0EiWi0000—εI<0（11）
则系统（3）渐进稳定，且可保成本为J=τ∑Lj=1λmax （UTWjU）+λmax （UTQ—11U）。保成本控制律为u（k）=YQ—11。
证明 不等式（5）改写为
Ω0000P1000—{Wi}—
I2T00—I00[i]T0P100P2P30000+（·）T<0（12）
其中Ω0=∑Li=1Wi+Q+KTRK，假设P=P10P2P3，P—1=Q10Q2Q3，将（12）式两边后、前分别乘以Q100Q2Q3000I及其转置，得到
Q1Ω0Q1+QT2P1Q2**QT1Q2QT1Q3*00—{Wi}—
Q1**Q1—Q2—Q3—QT3*0[i]T0<0（13）
设i=Q—1i，Y=KQ摘自：毕业论文小结www.7ctime.com
1，=R—1，同时注意到Q1=P—11，Q3=P—13，应用Schur补，（13）式等价于：
—Q1******Q2—Q1Q3+QT3*****0—[ii]T—{i}****[Q1]T00—{i}***Q1000—Q—1**Y0000—*Q2Q30000—Q1<0 （14）
根据系统（1）和（3），考虑，i不确定性，经简单计算，（14）式成为
—Q1******Q2—AQ1—BYQ3+QT3*****0—[Aii]T—{i}****[Q1]T00—{i}***Q1000—Q—1**Y0000—*Q2Q30000—Q1<0
+0D00000FEQ1+EbY0[EiWi]0000+（·）T<0 （15）
由Schur补，可知（11）式成立。结合（10），成本函数为
J≤λmax UTQ—11U+τ∑Lj=1λmax （UT—1jU）（16）
证明完毕。
推论假设LMI（11）是可行的，则系统（1）的可保成本（16）为如下优化问题的最优解：
min [α+τ∑Ljβj]（17）
s.t.—αIU—Q1<0，—βjIU—j<0（j=1，2，…，L）.
注：可以使用LMI工具箱方便的求解优化问题（17）.
4算例
考虑如下不确定多时滞系统：
A=0.70—0.50.050.8000.30.6，D=0.100.2，
B=0.300.6，E=0.200.3，
E1=（0.200.1），E2=（00.10.2）， Eb=0.4，R=0.2，L=2，τ*=2.
A1=—0.2000—0.10.100—0.2，
A2=0.20.1—0.10—0.10.10.10—0.2，
U=
1.500050005，Q=100010001
应用Matlab中的LMI工具箱求解，得ε=0.3036 Y=[—0.0222 —0.0131 —0.0651]，
Q1=0.1215—0.00820.0671—0.00820.02330.00560.06710.00560.0652，
反馈控制器增益为：
K=（0.96010.6992—
1.5890）.
S1=.65070.08730.35860.18730.56970.34830.35860.34830.3878，S2=0.7234—0.28640.0328—0.28640.37820.13730.03280.13730.2009
此时，求解优化问题（17）得到
α=178.6342，β1=43.5739，β2=3
1.4003。
目标函数值即可保成论文导读：runcertainpiecewiselinearsystems.JournalofDynamicalandControlSystems，2008，l4（1）：121—144.高会军，王常虹.不确定离散多时滞系统的时滞相关鲁棒镇定.自动化学报，2004，30（5）：789—795.张文安，俞立，张贵军.离散多时滞系统的时滞相关鲁棒稳定性分析.控制理论与应用，2006，23（4）：636—639.吴江江，本J*=328.5728源于：毕业论文理工www.7ctime.com
。
5结论
本文利用Lyapunov方法，不同于以往单时滞的情形，对一类范数有界不确定离散多时滞系统，进行了渐进稳定性分析，获得了闭环系统取得可保成本的严格LMI充分条件。设计了时滞无关状态反馈控制器，通过利用凸优化软件LMI工具箱，很方便的求解LMI，获得可保成本。仿真算例表明该方法的有效性。
参考文献
李琴，张庆灵，安韦春.不确定离散广义系统的时滞相关非脆弱无源控制[J].控制与决策，2007，22（8）：907—911.
张伟，时宝，盖明久.不确定离散时滞广义系统的参数依赖稳定条件[J].自动化技术与应用，2008，27（10）：4—7.
[3]Zhang， Tang. Output feedback H∞control for uncertain piecewise linear systems[J].Journal of Dynamical and Control Systems，2008，l4（1）：121—144.
[4]高会军，王常虹.不确定离散多时滞系统的时滞相关鲁棒镇定[J].自动化学报，2004，30（5）：789—795.
[5]张文安，俞立，张贵军.离散多时滞系统的时滞相关鲁棒稳定性分析[J].控制理论与应用，2006，23（4）：636—639.
[6]吴江江，余世明.一类不确定多时滞离散系统的稳定性分析与鲁棒控制器设计[J]，自动化技术与应用，2010，29（1）：1—3.
[7] Zhiyuan LIU， Yahui GAO， Hong CHEN. LMIbased robust control of uncertain discretetime piecewise affine systems[J]， Control Theory Appl， 2010 ，8（4）：496—502.
[8]Z.Q.Zuo. Y.J.Wang. Novel optimal guaranteed cost control of uncertain discrete systems with both state and input delays[J]. Journal of Optimization Theory and Applications， 2008，139：159—170.