探讨论弗赖登塔尔数学教育思想现实作用

论文导读：
摘要：半个世纪前的弗赖登塔尔数学教育思想在今天看来依然历久弥新。弗赖登塔尔教育思想的核心是“数学化”、“数学现实”与“有指导的再创造思想”，研究其内涵对今天的数学教育具有深远的现实作用。
关键词：弗赖登塔尔；数学化；数学现实：有指导的再创造
1673-9094（2014）02-00510-05
弗赖登塔尔（1905-1990）是荷兰著名的数学家和数学教育家，公认的国际数学教育权威，他于20世纪50年代后期发表的一系列教育著作在当时的影响遍及全球。虽历经半个多世纪的历史洗涤，但弗翁的教育思想在今天看来却依然熠熠生辉，历久弥新。今天我们重温弗翁的教育思想，发现新课程倡导的一些核心理念，在弗翁的教育论著中早有深刻阐述。因此，领会并贯彻弗翁教育思想，对于今天的课堂教学仍然深具现实作用。身处课程改革中的数学教育同仁们，理当把弗翁的教育思想奉为经典来品味咀嚼，从中汲取丰富的思想养料，获得教学启迪，并能积极践行其教育主张。
弗赖登塔尔早年从事纯粹数学研究，在李群和拓扑学等方面多有建树，20世纪50年代后期开始关注数学教育，发表了140余种教育论著，其中最有影响的有《作为教育任务的数学》、《播种和除草》、《数学结构的教学法现象学》。第一本阐述了他对数学和数学教育的各种基本观点，第二、第三本则可看成第一本的发展。弗翁在其代表作《作为教育任务的数学》中的核心思想归纳起来有三条，一是“数学化”，二是“数学现实”，三是“有指导的再创造”。
我们需要研究的是，弗翁的“数学化”、“数学现实”、“有指导的再创造”的思想内涵究竟是什么？对于今天课堂教学的现实作用究竟又在哪里？

一、“数学化”思想的内涵及其现实作用

弗赖登塔尔把“数学化”作为数学教学的基本原则之一，并指出：“……没有数学化就没有数学，没有公理化就没有公理系统，没有形式化也就没有形式体系。……因此数学教学必须通过数学化来进行。”[1]弗翁的“数学化”，一直被作为一种优秀的教育思想影响着数学教育界人士的思维方式与行为方式，对全世界的数学教育都产生了极其深刻的影响。
何为“数学化”？弗翁指出：“笼统地讲，人们在观察现实世界时，运用数学策略研究各种具体现象，并加以整理和组织的过程，我称之为数学化。”[2]同时他强调数学化的对象分为两类，一类是现实客观事物，另一类是数学本身。以此为依据，数学划分为横向数学化和纵向数学化。横向数学化指对客观世界进行数学化，它把生活世界符号化，其一般步骤为：现实情境—抽象建模—一般化—形式化。今天新授课倡导的教学模式就是遵循这四个阶段进行的。纵向数学化是指横向数学化后，将数学理由转化为抽象的数学概念与数学策略，以形成公理体系与形式体系，使数学知识体系更系统、更完美。
目前一些教师或许是教育观念上还存在偏差，或许是应试教育大环境引发的短视功利心的驱动，常把数学化（横向）的四个阶段简约为最后一个阶段，即只重视数学化后的结果——形式化，而忽略得到结果的“数学化”过程本身。斩头去尾烧中段的结果，是学生学得快但忘得更快。弗赖登塔尔批评道：这是一种“违反教学法的颠倒”。也就是说，数学教学绝不能仅仅是灌输现成的数学结果，而是要引导学生自己去发现和得出这些结果。许多大家持同样观点，美国心理学家戴维斯就认为：在数学学习中，学生进行数学工作的方式应当与做研究的数学家类似，这样才有更多的机会取得成功。笛卡尔与莱布尼兹说：“……知识并不是只来自于一种线性的，从上演绎到下的纯粹理性……，真理既不是纯粹理性，也不是纯粹经验，而是理性与经验的循环。”[3]康德说：“没有经验的概念是空洞的，没有概念的经验是不能构成知识的。”[4]
“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，“数学化”方式使学生的知识源自现实，也就容易在现实中被触发与激活。“数学化”过程能让学生充分经历从生活世界到符号化、形式化的完整过程，积累“做数学”的丰富体验，收获知识、理由解决策略、数学价值观等多元成果。
另一方面，“数学化”对学生的远期与近期发展兼具重大作用。从长远看，要使学生适应未来的职业周期缩短、节奏加快、竞争激烈的现代社会，使数学成为整个人生发展的有用工具，就意味着数学教育要给学生除知识外的更加内在的东西，这就是数学的观念、用数学的意识。因为学生如果不是在与数学相关的领域工作，他们学过的具体数学定理、公式和解题策略大多是用不上的，但不管从事什么工作，从“数学化”活动中获得的数学式思维方式与看理由的着眼点，把现实世界转化为数学模式的习惯，努力揭示事物本质与规律的态度等等，却会随时随地发生作用。
张奠宙先生曾举过一例，一位中学毕业生在上海和平饭店做电工，从空调机效果的不同，他发现地下室到10楼的一根电线与众不同，现需测知其电阻。在别人因为距离长而感到困难的时候，他想到对地下室到10楼的三根电线进行统一处理。在10楼处将电线两两相接，在地下室分三次测量，然后用三元一次方程组计算出了需要的结果。这位电工后来又做过几次类似的事情，他也因此很快得到了上级的赏识与重视。这位电工解决理由的策略，并不完全是曾经做过类似数学题的策略，而是得益于他用数学的意识。在现实生活中，有了数学式的观念与意识，我们就总想把复杂理由转化为简单理由，就总是试图揭示出面对理由的本质与规律，就容易经济高效地处理理由，从而凸显出卓尔不群的才干，进而提高我们工作与生活的品质。
从近期讲，经历“数学化”过程，让学生亲历了知识形成的全过程，且在获取知识的过程中，学生们要重建数学家发现数学规律的过程，其中探究中对前行路径的自主猜测与选择、自主分析与比较、在克服困境中的坚守与转化、在发现解决理由的策略时获得的智慧满足与兴奋、在历经挫折后对数学式思维的由衷欣赏，以及由此产生的对于数学情感与态度方面的变化，无一不是“数学化”带给学生生命成长的丰厚营养。波利亚说：只有看到数学的产生，按照数学发展的历史顺序或亲自从事数学发现时，才能最好地理解数学。同时，亲历形成过程得到的知识，在学生的认知结构中一定处于稳固地位，记忆持久，调用自如，迁移灵活。从而十论文导读：
分有利于学生当下应试水平的提高。除知识外，学生在“数学化”活动中将缄默地收获到包含数学史、数学审美标准、元认知监控、反思调节等多元成果，这些内容不仅有益于加深学生对数学价值的认识，更有益于增强学生的内部学习动机，增强用数学的意识与能力，这绝不是只向学生灌输成品数学所能达到的效果。

二、“数学现实”思想的内涵及其现实作用

新课程倡导引入新课时，要从学生的生活经验与已有的数学知识处抛锚创设情境，这种观点，早在半个世纪前的弗翁教育论著中已一再涉及。弗翁强调，教学“应该从数学与它所依附的学生亲身体验的现实之间去寻找联系”，并指出，“只有源于现实关系，寓于现实关系的数学，才能使学生明白和学会如何从现实中提出理由与解决理由，如何将所学知识更好地应用于现实”。[5]弗翁的“数学现实”观告诉我们，每个学生都有自己的数学现实，即接触到的客观世界中的规律以及有关这些规律的数学知识结构。它不但包括客观世界的现实情况，也包括学生使用自己的数学能力观察客观世界所获得的认识。教师的任务在于了解学生的数学现实并不断地扩展提升学生的“数学现实”。
“数学现实”思想，让我们知晓了创设情境的真正教学意图及创设恰当情境对于教学的重要作用。首先，情境应该源于学生的生活常识或认知目前状况，前者的引入方式可以摆脱机械灌输概念的弊端，现实情境的模糊性与当堂知识联系的隐蔽性更有利于学生进行“数学化”活动，有利于学生主意自己拿，策略自己找，策略自己定，有利于学生逐步积淀生成正确的数学意识与观念，后者是学生进行作用建构的基本要求。其次，教师有效教学的必要前提，是了解学生的数学现实，一切过高与过低的、与学生数学现实不吻合的教学设计必定不会有好的教学效果。由此我们也就理解了新数运动失败的一个重要理由，是过分拔高了学生的数学现实；同时也就理解了为什么在课改之初，一些课堂数学活动的“幼稚化”会遭到一些专家的诟病，就是因为没有紧贴学生的数学现实贴船下篙。“如果我不得不把全部教育心理学还原为一条原理的话，我将会说，影响学习的唯一最重要因素是学习者已经知道了什么。”奥苏贝尔的话恰好也道出了“数学现实”对教学的重要作用。

三、“有指导的再创造”思想的内涵及其现实作用

1.“有指导的再创造”中“再”的作用及启迪

弗赖登塔尔倡导按“有指导的再创造”的原则进行数学教学，即要求教师要为学生提供自由创造的广阔天地，把课堂上本来需要教师传授的知识、需要浸润的观念变为学生在活动中自主生成、缄默感受的东西。弗氏认为，这是一种最自然、最有效的学习策略。这种以学生的“数学现实”为基础的创造学习过程，是让学生的数学学习重复一些数学发展史上的创造性思维的过程。但它并非亦步亦趋地沿着数学史的发展轨迹，也让学生在黑暗中慢慢地摸索前行，而是通过教师的指导，让学生绕开历史上数学前辈们曾经陷入的困境和僵局，避开他们在前进道路上所走过的弯路，浓缩前人探索的过程，依据学生现有的思维水平，沿着一条改良修正的道路快速前进。所以，“再创造”的“再”的关键是教学中不应该简单重复当年的真实历史，而是要结合当初数学史的发明发现特点，结合教材内容，更要结合学生的认知现实，致力于历史的重建或重构。弗翁的理由是：“数学家从来不按照他们发现、创造数学的真实过程来介绍他们的工作，实际上经过艰苦曲折的思维推理获得的结论，他们常常以‘显而易见’或是‘容易看出’轻描淡写地一笔带过；而教科书则做得更彻底，往往把表达的思维过程与实际创造的进程完全颠倒，因而完全阻塞了‘再创造的通道’。”[6]
我们不难看到，今天的许多常规课堂，由于课时紧、自身水平有限、工作负担重、应试压力大等理由，教师们常常喜欢用开门见山、直奔主题的方式来进行，按“讲解定义—分析要点—典例示范—布置作业”的套路教学，学生则按“认真听讲—记忆要点—模仿题型—练习强化”的方式日复一日地学习。然而，数学课如果总是以这样的流程来操作，学生失去的，将是亲身体验知识形成中对理由的分析、比较、对解决理由中策略的自主选择与评判，对常用手段与策略的提炼反思的机会。杜威说：“如果学生不能筹划自己解决理由的策略，自己寻找出路，他就学不到什么，即使他能背出一些正确的答案，百分之百正确，他还是学不到什么。”[7]其实，学习数学家的真实思维过程对学生数学能力的发展至关重要。张乃达先生说得好：“人们不是常说，要学好学问，首先就要学做人吗？在数学学习中，怎样学习做人？学做什么样的人？这当然就是要学做数学家！要学习数学家的‘人品’。而要学做数学家，当然首先就要学习数学家的眼光！”[8]这只能从数学家“做数学”的思维方式中去学习。
德摩根就提倡这种“再创造”的教学方式。他举例说，教师在教代数时，不要一下子把新符号都解释给学生，而应该让学生按从完全书写到简写的顺序学习符号，就像最初发明这些符号的人一样。庞加莱认为：“数学课程的内容应完全按照数学史上同样内容的发展顺序展现给读者，教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历，迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段。”[9]波利亚也强调学生学习数学应重新经历人类认识数学的重大几步。
例如，从1545年卡丹讨论虚数并给出运算策略，到18世纪复数广为人们接受，经历了200多年时间，其间包括大数学家欧拉都曾认为这种数只存在于“幻想之中”。教师教授复数时，当然无须让学生重复当初人类发明复数的艰辛漫长的历程，但可以把复数概念的引入，也设计成当初数学家遇到的初始理由，即“两数的和是10，积是40，求这两数”，让学生面对当初数学家同样的困窘。这时教师让学生了解从自然数到正分数、负整数、负分数、有理数、无理数、实数的发展历程，以及数学共同体对数系扩充的规则要求。启发学生，对于前面的每一种数都找到了它的几何表征并研究其运算，那么复数呢，能否有几何表征方式？复数的运算法则又是什么样的？……这样的教学，既避开了学生无方向的低效摸索，又让学生在教师的科学有效的引导下，像数学家一样经历了数学知识的创造过程。在这一过程中，学生获得的智能发展，远比被动接受教师传授来得透彻与稳固。论文导读：的艰辛，通过跌打滚爬最终能到达目的地，但更有可能摸索到最后还是无功而返。如果把在探索过程中的学生比喻为看不清知识前景的盲人，教师作为一个知识的明眼人，就应该始终站在学生身后的不远处。学生碰到沟壑，教师能上前牵引他；当他走反了方向时，上前把他指引到正确的道路上来，这就是教师“有指导”的作用。另外，并不是学生经过
正如美国谚语所说：我听到的会忘记，看到的能记住，唯有做过的才入骨入髓。

2.“有指导的再创造”中“有指导”的内涵及现实作用

弗翁认为，学生的“再创造”，必须是“有指导”的。因为，学生在“做数学”的活动中常处于结论未知、方向不明的探究环境中。若放任学生自由探究而教师不作为，学生的活动极有可能陷入盲目低效或无效境地。打个比方，让一个盲人靠自己的摸索到他从来没有去过的地方，他或许花费太多的时间，碰到无数的艰辛，通过跌打滚爬最终能到达目的地，但更有可能摸索到最后还是无功而返。如果把在探索过程中的学生比喻为看不清知识前景的盲人，教师作为一个知识的明眼人，就应该始终站在学生身后的不远处。学生碰到沟壑，教师能上前牵引他；当他走反了方向时，上前把他指引到正确的道路上来，这就是教师“有指导”的作用。另外，并不是学生经过数学化活动就能自动生成精致化的数学形式定义。事实上，数学的许多定义是人类经过上百年、数千年，通过一代代数学家的不断继承、批判、修正、完善，才逐步精致严谨起来的，想让学生自己通过几节课就生成出形式化概念是不可能的。所以说，学生的数学学习，更主要还是一种文化继承行为。弗翁强调“指导再创造意味着在创造的自由性与指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间达到一种微妙的平衡”[10]。当前教学中有一种不好的现象，即把学生在学习活动中的主体地位与教师的必要指导相对立，这显然与弗翁的思想相背离。当然，教师的指导最能体现其教学智慧，体现在何时、何处、如何介入到学生的思维活动中。
（1）如何指导——用元认知提示语引导。在“做数学”的活动中，对学生启发的最好方式是用元认知提示语，教师要根据探究目标隐蔽性的强弱，知识目标与学生认知结构潜在距离的远近，设计暗示成分或隐或显的元认知理由。一个优秀的教师一定是善用元认知提示语的教师。
（2）何时指导——在学生处于思维的迷茫状态时。不给学生充分的活动时空，不让学生经历一段艰难曲折的走弯路过程，教师就介入到活动中，这不是真正作用上的“数学化”教学。在教师的过早干预下，也许学生知识、技能学得快一些，但学生学得快忘得更快。所以，教师只有在学生心求通而不得时点拨，在学生的思维偏离了正确的方向时引领，才能充分发挥师生双方的主观能动性，让学生在挫折中体会出数学思维的特色与数学策略的魅力。
（3）在何处指导——在关于知识的知识方面。相比于知识的学习，关于如何获取知识的知识对于人的发展作用更为重要。比如笔者在“参数方程的作用”一课中，当学生得出了斜抛物体的运动方程时，笔者提出：你以前见过类似策略吗？引导学生提取出曾经见过的参数方程x=rcost、y=rsint。进而提问：“你认为本题的策略有推广，一般化的价值吗，为什么？”通过这样的理由，引导学生反思数学人的价值追求，反思我们研究参数方程的必要性，进而让学生悟出：在数学中，在生活中，如果我们经常遇到一个对象，如果它有普遍的运用价值，我们就要研究它。通过一些理由串的提出，引导学生不仅关心“知道了什么知识”，更要引导学生关心知识是“怎么形成的”，“怎么知道的”，“为什么要研究它们”。在思维的岔口处，教师指导学生要用数学美导航，在等价化归的行为背后，教师要点化出数学人思维经济的特色，引导学生对于如何进行数学深思进行再深思。通过指导学生回顾“做数学”的过程，深究活动中涉及的知识、策略、思路、策略，“学生的理解才可能从一个水平升华到更高水平”[11]。
品读弗翁的教育论著，相信每一位阅读的同仁都有开卷有益、茅塞顿开之感，它之于我们，实在是一部精神大餐，从中可扩展我们的眼界，澄清认识上的误区，提升我们的实践智慧，帮助我们更透彻地领会并在教学中更好地贯彻新课程理念。
参考文献：
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[6]弗赖登塔尔教授关于数学教育的问答[J].唐瑞芬，译.数学教学，1988（4）.
[8]张乃达.思维 观念 文化——张乃达数学教育论文选[M].南京：凤凰出版社，2012：217.
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[10]鲍建生，徐斌艳.数学教育研究导引

(二)[M].南京：江苏教育出版社，2003：190.

[11]张晓拔.数学教学要重视培养学生反思习惯[J].数学教育学报，2008（6）.
责任编辑：杨孝如
Freudenthal’s Mathematics Education Idea and Its Realistic Significance
QIAO Ai-ping
（Qingjiang Middle School， Huai’an 223001， China）
Abstract： Freudenthal’s mathematics education idea of half a century ago is still new and fashionable today， the core of whose idea is mathematization， mathematical reality and directed re-creation ideology. A study of its connotation has profound realistic significance to today’s mathemat论文导读：icseducation.Keywords：Freudenthal；mathematization；mathematicalreality；directedre-creation上一页1234
ics education.
Key words： Freudenthal； mathematization； mathematical reality； directed re-creation