论高数教学中函数极限一题多解
最后更新时间：2024-02-13
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论文导读：
摘 要 极限是微积分的灵魂，本文通过两道函数极限例题的一题多解，培养学生思维的敏捷性和灵活性，实现能力上实现一个“飞跃” 。
关键词 极限 思维 高等数学
：A
Multiple Solutions to a Problem of Function
Limit in Higher Mathematics Teaching
YANG Miaomiao， WANG Junhua
（Zhengzhou Institute of Technology， Zhengzhou， Henan 451150）
Abstract The limit is the calculus of soul， through a two limit function examples of multiple solutions， to cultivate the students' thinking agility and flexibility， to achieve a "leap" of implementation ability.
Key words limit； thinking； higher mathematics teaching
极限是高等数学中的一个重要的概念。它在一些理由中，尤其是在几何理由和物理理由中为求精确解时而产生的。从极限思想的产生到极限理论的确定，经历了大约两千年的时间。极限理论的确定是微分和积分有了坚实的逻辑基础，并使微积分在当今科学的各个领域得以更广泛、更合理、更深刻的应用和发展。极限是微积分的灵魂。
对于函数求极限的策略有多种，学生往往比较难掌握。课本中对计算函数极限提供了几种计算策略，例如：利用极限定义；极限的运算法则；利用等价无穷小量替换；函数的连续性；夹逼准则；导数定义；洛必达法则；利用拉格朗日中值定理；一些已知极限等等。但在解同一个理由时，由于不同的人，抓住理由的特点不同，或者运用的知识不同，对同一个理由可能采用各种不同的解法，这就是一题多解 。笔者认为，在极限教学过程中可以从不同角度分析所求函数极限的结构特点，进而利用一题多解，从而加深对极限知识的理解，训练学生多向思维的能力，还增加学生学习的趣味性。下面通过两道例题进行分析：
例1 求极限
解法一：利用导数定义 （） =
原式 = =
解法二：三角函数和差化积
= 2
原式 = =
利用第一重要极限 = 1
上式 = 2· =
解法三：利用等价无穷小替换→0， 得
→，
原式 = =
= = =
解法四：“”未定式，利用罗比达法则得
原式 = =
解法五：令函数 （） = 在区间[]或[]上满足拉格朗日中值定理的条件，得原式 = （介于与之间）。
例2 求极限·
解法一：利用第二重要极限 =
原式 = =
= = =
解法二：利用罗比达法则
原式 =
解法三：利用等价无穷小替换→0， ，
则→+， →0， （1+ ）
原式 = · （1+ ） = · =
解法四：令函数 （） = （）在区间[]或[]上满足拉格朗日中值定理的条件，得 （下转第52页）（上接第42页）
原式 = ·[] = ··
= = （介于与之间）
当然不是每道题都有多种解法，一题多解是手段不是目的。一题多解的可能性来源于能直接或间接利用上述多种工具的条件。经常引导学生通过“一题多解”的训练，能培养学生思维的敏捷性和灵活性。只有思维“活跃”了，解法上“合理”了，才能在能力上实现一个“飞跃”，在“一题多解”训练时，同时要引导学生对各种解法进行比较，让发散的思维再收敛到最佳解题策略上去。
参考文献
[1] 王振吉，王斌.高等数学及其应用[M].北京理工大学出版社，2012：23-60.
[2] 同济大学等.高等数学（上册）[M].高等教育出版社，2008：14-89. 全文地址：www.7ctime.com/xxyljxlw/lw24869.html上一论文：浅议化学教学中学生理由意识能力的培养
摘 要 极限是微积分的灵魂，本文通过两道函数极限例题的一题多解，培养学生思维的敏捷性和灵活性，实现能力上实现一个“飞跃” 。
关键词 极限 思维 高等数学
：A
Multiple Solutions to a Problem of Function
Limit in Higher Mathematics Teaching
YANG Miaomiao， WANG Junhua
（Zhengzhou Institute of Technology， Zhengzhou， Henan 451150）
Abstract The limit is the calculus of soul， through a two limit function examples of multiple solutions， to cultivate the students' thinking agility and flexibility， to achieve a "leap" of implementation ability.
Key words limit； thinking； higher mathematics teaching
极限是高等数学中的一个重要的概念。它在一些理由中，尤其是在几何理由和物理理由中为求精确解时而产生的。从极限思想的产生到极限理论的确定，经历了大约两千年的时间。极限理论的确定是微分和积分有了坚实的逻辑基础，并使微积分在当今科学的各个领域得以更广泛、更合理、更深刻的应用和发展。极限是微积分的灵魂。
对于函数求极限的策略有多种，学生往往比较难掌握。课本中对计算函数极限提供了几种计算策略，例如：利用极限定义；极限的运算法则；利用等价无穷小量替换；函数的连续性；夹逼准则；导数定义；洛必达法则；利用拉格朗日中值定理；一些已知极限等等。但在解同一个理由时，由于不同的人，抓住理由的特点不同，或者运用的知识不同，对同一个理由可能采用各种不同的解法，这就是一题多解 。笔者认为，在极限教学过程中可以从不同角度分析所求函数极限的结构特点，进而利用一题多解，从而加深对极限知识的理解，训练学生多向思维的能力，还增加学生学习的趣味性。下面通过两道例题进行分析：
例1 求极限
解法一：利用导数定义 （） =
原式 = =
解法二：三角函数和差化积
= 2
原式 = =
利用第一重要极限 = 1
上式 = 2· =
解法三：利用等价无穷小替换→0， 得
→，
原式 = =
= = =
解法四：“”未定式，利用罗比达法则得
原式 = =
解法五：令函数 （） = 在区间[]或[]上满足拉格朗日中值定理的条件，得原式 = （介于与之间）。
例2 求极限·
解法一：利用第二重要极限 =
原式 = =
= = =
解法二：利用罗比达法则
原式 =
解法三：利用等价无穷小替换→0， ，
则→+， →0， （1+ ）
原式 = · （1+ ） = · =
解法四：令函数 （） = （）在区间[]或[]上满足拉格朗日中值定理的条件，得 （下转第52页）（上接第42页）
原式 = ·[] = ··
= = （介于与之间）
当然不是每道题都有多种解法，一题多解是手段不是目的。一题多解的可能性来源于能直接或间接利用上述多种工具的条件。经常引导学生通过“一题多解”的训练，能培养学生思维的敏捷性和灵活性。只有思维“活跃”了，解法上“合理”了，才能在能力上实现一个“飞跃”，在“一题多解”训练时，同时要引导学生对各种解法进行比较，让发散的思维再收敛到最佳解题策略上去。
参考文献
[1] 王振吉，王斌.高等数学及其应用[M].北京理工大学出版社，2012：23-60.
[2] 同济大学等.高等数学（上册）[M].高等教育出版社，2008：14-89. 全文地址：www.7ctime.com/xxyljxlw/lw24869.html上一论文：浅议化学教学中学生理由意识能力的培养