探索收敛哈密尔顿系统非协调元算法及守恒性学术

论文导读：
摘要：冯康[2][3]提出了求解Hamilton系统的辛算法与论述，构造出针对Hamilton系统的大量辛格式。非协调元策略放松了单元边界的连续性条件，更适用于复杂的边界条件。罗恩[4]~[7]等提出了非传统Hamilton系统的变分原理，这种变分可以反映动力学初边值不足的全部特点，同时具有自然的辛结构。基于广义变分原理的非协调元策略能够适用于复杂的边界条件同时反映出系统的全部特点，使得辛算法呈现出广泛运用的生命力。第一章主要介绍Hamilton力学与辛几何基础知识；第二章讨论非传统Hamilton系统的变分原理；第三章介绍有限元策略及非协调元策略；第四章探讨构造某些非协调辛几何有限元策略解决Hamilton系统不足；第五章是本论文作者按照“上海交通大学数学系硕士探讨生毕业要求”的条例，在阅读大量科技文献后经过深思提炼而撰写的综合报告。本论文的革新工作主要有：一、提出用特殊设计的非协调辛几何有限元求解Hamilton方程组的基本框架，其能量是守恒的。二、建立线性Hamilton系统的零次、一次、二次的特殊非协调元算法，并证明它们都是辛算法。分别具有一阶、二阶、四阶精度。三、证明了本论文设计的求解非线性Hamilton系统的一次非协调元策略是3阶精度保辛。四、相关的算例浅析结果，证明了算法的有效性。关键词：非传统Hamilton系统论文辛格式论文非协调元论文超收敛论文
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Abstract7-11
第一章 Hamilton 系统和辛算法11-17

1.1 Hamilton 系统的介绍13-14

1.2 辛几何与辛代数：14-15

1.3 Hamilton 系统的辛几何算法15-17

第二章 特殊设计的协调有限元与 Hamilton 系统17-22

2.1 有限元策略17-18

2.2 哈密尔顿系统的连续有限元法及守恒性18-22

2.1 引言18

2.2 常微分方程的连续有限元法及守恒性18-19

2.3 线性哈密尔顿系统的连续有限元法及辛格式19-20

2.4 非线性 Hamilton 系统连续有限元及辛格式20-22

第三章 非传统 Hamilton 变分原理及辛算法22-33

3.1 动力系统的广义变分原理22-30

3.

1.1 线性动力系统的变分原理22-27

3.

1.2 几何非线性动力学中广义 Hamilton 型拟变分原理27-30

3.2 基于相空间非传统 Hamilton 型辛算法30-33
3.

2.1 相空间非传统 Hamilton 型变分原理30-31

3.

2.2 辛空间有限元31

3.

2.3 辛时间子域法31-33

第四章 特殊设计的非协调有限元与 Hamilton 系统33-52

4.1 常微分方程的非协调元策略及守恒性33-35

4.2 线性 Hamilton 系统的非协调元法及辛格式35-38

4.3 非线性哈密尔顿系统的一次非协调元及辛格式38-43

4.4 数值算例43-52

4.1 线性 Hamilton 系统43-49

4.2 非线性 Hamilton 系统49-52

第五章 作者按“数学系统一要求”撰写的综述报告52-76

5.1 Hamilton 系统性质与 Hamilton 矩阵53-56

5.

1.1 Hamilton 系统相空间的形式不变性和 Lie 对称性的定义53

5.

1.2 形式不变性和 Lie 对称性的联系与守恒量53-54

5.

1.3 Hamiltonian 矩阵54-56

5.2 动力平衡方程的辛两步求解算法56-59
5.

2.1 基本概念56

5.

2.2 动力学平衡方程的辛两步法56-57

5.

2.3 辛两步格式性能浅析57-59

5.3 波动方程辛算法的迭代求解59-62
5.

3.1 波动偏微分方程及其解法59-60

5.

3.2 波动偏微分方程第一种迭代策略60

5.

3.3 波动偏微分方程第二种迭代策略60-61

5.

3.4 算例61-62

5.4 非线性微分方程的多辛解法62-66
5.

4.1 非线性偏微分方程的多辛形式及守恒律62

5.

4.2 Kdv 方程的多辛解法62-64

5.4.3 （2+1）维 Sine-Gordo论文导读：-84附录：攻读硕士期间发表的学术论文84-85附录：人物介绍/英译中85-87英译中基于旋转刚柔耦合系统改善辛精细积分87-108附录108-125上一页12
n 方程的多辛解法64-65
5.

4.4 非线性微分方程的多辛解法的一些心得65-66

5.5 相空间非传统型 Hamilton 型变分原理与辛算法66-74

5.1 相空间非传统 Hamilton 型变分原理66-67

5.2 基于相空间非传统 Hamilton 型变分原理辛时间子域法67-68

5.3 算法稳定性浅析68-69

5.4 辛时间子域法的运用69-73

5.5 结语73-74

5.6 利用较稳定的辛算法解决双不动中心不足74-76

5.6.1 《两类辛算法稳定性比较》中较稳定的算法 M1:74-75

5.6.2 用 M 记分器解决双不动中心不足75-76

参考文献76-83
致谢83-84
附录：攻读硕士期间发表的学术论文84-85
附录：人物介绍/英译中85-87
英译中 基于旋转刚柔耦合系统改善辛精细积分87-108
附录108-125