试谈传动轴基于有限元原理传动轴系扭振

论文导读：很多物理问题和力学问题的基本方程（常微分方程或偏微分方程），并且还获得了相应的定解条件。对于一些几何形状比较规则的问题或性质较为简单的方程，可以采用解析方法进行求解，但是很多问题的方程具有非线性性质，或者几何形状比较复杂，解析方法就无法满足需要。为了解决这类问题，可以考虑从两个方法入手。一种方法是对几何边界
摘要：本文针对机械设计中传动轴的的运动特点与设计需要，提出了一种利用有限元原理，对其实际运作时因轴系扭振而产生对轴的磨损与能量损耗问题的解决办法，并举一实例，为传动轴的合理设计提供了参考。
Abstract： This paper focuses on the characteristics and design needs of drive shaft in mechanical design， proposes the solution for the wear and energy consumption caused by shafting torsional vibration in actual operation by using finite element and gives one instance， providing reference for rational design of the drive shaft.
关键词： 有限元；传动轴系；扭振分析；数值积分法
Key words： finite element；drive shaft；torsional vibration analysis；numerical integral method
1006-4311（2013）07-0037-02
0 引言
在当前技术和理论条件下，人们通过各种方式，掌握了技术工程领域内很多物理问题和力学问题的基本方程（常微分方程或偏微分方程），并且还获得了相应的定解条件。对于一些几何形状比较规则的问题或性质较为简单的方程，可以采用解析方法进行求解，但是很多问题的方程具有非线性性质，或者几何形状比较复杂，解析方法就无法满足需要。为了解决这类问题，可以考虑从两个方法入手。一种方法是对几何边界和方程进行简化假设，将其简化到可以处理的情况，并在这种简化状态下求得解答。但由于过度的简化可能会带来很大的误差，甚至会得出错误的解答，所以这种方法的应用范围受到一定限制。针对这种情况，人们寻找了另一种方法——数值解法。在当今计算机技术得到广泛普及的背景下，该方法已成为求解科学技术问题的主要工具。
1 有限元的特点与基本原理
有限单元法是一个具有巩固理论基础和广泛应用效力的数值分析工具。该方法以加权余量法和变分原理为基础，其思路是对计算域进行分割，将其划分为几个单元，单元与单元之间互不重叠。经过合理选择，将每个单元内的一些节点作为插值点以求解函数，并对微分方程中的变量进行改写，将其改写成一种线性表达式，该表达式的组成内容是各变量或其导数的节点值以及所选用的插值函数。接下来，就可以利用加权余量法或变分原理对微分方程求解。权函数和插值函数形式的不同，有限元方法也就不同。
几十年来，有限单元法在应用范围上得到了扩展，它应经不只是局限于解决弹性力学的平面问题，而且还应用于空间问题、板壳问题。与此同时，它也由解决静力平衡问题扩展到动力问题、稳定问题和波动问题。在这个趋势下，其分析对象的范围也得到扩展，不只是弹性材料，粘塑性、粘弹性、复合材料等都成为它的分析对象。从学科领域来看，有限单元法突破了固体力学的范围，被应用到了传热学、流体力学等领域。在工程分析中，该方法已经实现了计算机辅助设计技术与优化设计的有机结合。可以预计，在未来的科学技术发展中，有限单元法必将发挥越来越重要的作用。
尤其在机械设计中，对机构的动态特征进行分析，更少不了对有限元的应用。而作为机械设计的主要的能量传递的轴的设计，为保证能量传递的效率，对其的分析是必不可少的。
2 本文源于：党校毕业论文www.7ctime.com
就将传动轴系扭振分析展开讨论

2.1 传动轴系扭振分析计算步骤如图1。

2.2 数学模型的创建 系统扭振的数学模型为：

[I]{■}+[C]{■}+{K}{？准}={MF}
当不计阻尼时，上式简化为：[I]{■}+[K]{？准}={MF}。
其中转动惯量矩阵、刚度矩阵和外扭矩向量分别为：
[I]=I1 0 … 0 I2 ┆┆ ？埙 0 … 0 I12
{MF}={M电 0 0 0 0 0 0 0 -M轧 0 0 -M轧}T

2.3 数值积分方法的选择 用于动力响应计算的主论文导读：

要数值积分方法有很多，如龙格-库塔法、有限差分法、NEWMARK法、增量法、威尔逊法、精细积分法。本文主要讨论有限差分法：
有限差分法（finite difference method） 有限差分法以求解差分方程的方式来解决微分方程问题，是一种微分方程和积分微分方程数值解的方法。它用有限个离散点——网格节点——构成的网格替代了连续的定解区域；用网格上定义的离散变量函数来近似连续定解区域上的连续变量的函数；用差商来近似原方程和定解条件中的微商；积分则用积分和来近似。在这种情况下，就实现了用代数方程组近似地代替原微分方程和定解条件，这个代数方程组就是有限差分方程组，原问题在离散点上的近似解就可以通过解该方程组获得。接下来，定解问题在整个区域上的近似解就可以通过应用插值方法，从离散解得到。除此之外，通过对差分方程组的性态进行理论分析，可以确保计算结果的准确，并且使计算过程具备可行性。这种理论分析包括了解的存在性和差分格式的相容性、唯一性、收敛性和稳定性。为了让微分方程建立的各种差分格式具有实用意义，相容性要求它们要实现可以任意逼近微分方程。这里需要注意两个概念，一是差分格式的收敛性，另一则是稳定性。前者是指差分方程的精确解能否实现对微分方程解的任意接近，决定了差分格式的有用性。而稳定性的意义在于，差分格式是逐层计算的，每层近似值的计算都要与前面一层相关联，如果前面各层存在误差，则之后的近似值就会出现偏差，导致差分格式的精确解失效，使得格式不稳定。只有保证对逐层计算过程中的误差进行有效控制，才能使差分格式得近似解任意逼近差分方程的精确解。
参考文献：
[美]G.R布查南.全美经典-有限元分析[M].董文军，谢伟松译.北京：科学出版社，麦格劳-希尔教育出版集团.
龚曙光.ANSYS工程应用实例解析[M].北京：机械工业出版社，2003.
[3]王勖成，邵敏.有限单元法基本原理和数值方法（第二版）[M].北京：清华大学出版社，1997.