探索复数复数几何作用

论文导读：
中图分类号：G623.5
理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。利用复数的几何意义，可使两点间的距离公式、常见的曲线方程及某些平面区域有简明的表达形式，为使用复数解几何问题方便，复数运算的几何意义实现了数与形的结合。体现在：
1、通过学习复平面上点的轨迹，进一步使学生掌握复数及减法的代数、几何、向量表示法及彼此之间的关系。
2、通过复数、平面上点及位置向量三者之间联系及转化的教学，对学生进行事物间普遍联系及转化等辩证观点的教育。

3、提高学生数形结合能力；培养对应与运动变化的观点。

例题（1）实数m分别取什么数值时，复数z=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i，（1）对应点在x轴上方；（2）对应点在直线x+y+5=0上.
解析（1）由m2-2m-15>0，
得m5，
即当m5时，z的对应点在x轴上方.
（2）由（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+5=0，
得m=-3-414或m=-3+414，
即当m=-3-414或m=-3+414时，z的对应点在直线x+y+5=0上.
例题（2）已知z

1、z2∈C ，且 ，

若 ，则 的最大值是（）
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（A）6 （B）5 （C）4（D）3
解法1：
的最大值是4
解法2：，
，即
表示以原点为圆心，以1为半径的圆；
表示以（0，2）为圆心，以1为半径的圆。
的最大值为两圆上距离最大的两点间的距离为4。
例题（3）若复数z满足条件 ，
求 的最值。
解法1：（数形结合法）由 可知，z对应于单位圆上的点Z；
表示单位圆上的点Z到点P（0，2）的距离。
由图可知，当点Z运动到A（0，1）点时， ，此时z=i；
当点Z运动到B（0，-1）点时， ， 此时z=-i。
解法2：（不等式法）
，
解法3：（代数法）设 ，则
，即
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， =3，
解法4：（性质法）
，即
当 ，即 时，
当 ，即 时，
例题（4）复数z1=1+2i，z2=-2+i，z3=-1-2i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.
分析一：
利用 ，求点D的对应复数.
解法一：
设复数z1、z2、z3所对应的点为A、B、C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi（x，y∈R），是：
=（x+yi）-（1+2i）=（x-1）+（y-2）i；
=（-1-2i）-（-2+i）=1-3i.
∵ ，即（x-1）+（y-2）i=1-3i，
∴ 解得
故点D对应的复数为2-i.
分析二：
利用原点O正好是正方形ABCD的中心来解.
解法二：
因为点A与点C关于原点对称，所以原点O为正方形的中心，于是（-2+i）+
（x+yi）=0
∴x=2，y=-1.
故点D对应的复数为2-i.